CHAPITRE VI. 39i
en mettant pour p et X leurs valeurs , et désignant par U, la valeur que prend la fonction u ou *(*y/f) lorsqu' on
suppose x=X. L'indice i désigne le rang de la racine m de lequation déterminée qui donne une infinité de valeurs de m.
Si l'on substitue m, ou 4-X'ô, dans X U ' ( i h ^ — ^
on aura
Il résulte de l'analyse précédente que l'on a les deux équations
j (xujUidx) = o et f(xu;dx) = (i + (-^.y)î^>
la première a lieu toutes les fois que les nombres * et j sont différents , et la seconde lorsque ces nombres sont égaux.
Reprenant donc lequation 9 x=a, u, a, u, + o, w, -t- etc. dans laquelle il faut déterminer les coefficients atfat,ai9 . etc. On trouvera un de ces coefficients désigné par ait en multipliant les deux membres de l'équation par x u(dx, et en intégrant depuis x =0 jusqu'à a = X\ le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, et l'on aura
l'équation 2^(x 9{x) u, dxs)=a, X1 U; (1 + (^T7?) )»
qui donne la valeur de a,. Les coëfficients a, , ait a3 , a, , étant ainsi déterminés , la condition exprimée par l'équation
39a THÉORIE DE LA CHALEUR.
9 x=at u, + a, u, 4- a3 Uj -*- etc. , qui se rapporte à 1 état initial , sera remplie.
Nous pouvons maintenant donner la solution complète de de la question proposée; elle est exprimée par l'équation suivante :
x x — = f(x9x.utdx) —**kt. \{x^x.utdx) skt.
+ UxfX.Ut dx) a»j
u . e + etc.
La fonction de x qui est exprimée par u dans 1 équation précédente a pour expression
^ y* cos. l/8~ . sin. q ) y;
toutes les intégrales par rapport à x doivent être prises depuis x=o jusqu'à x=X, et pour trouver la fonction u on doit intégrer depuis q = o jusqu'à ç=ts; yx est la valeur initiale de la température, prise dans l'intérieur du cylindre à la distance x de Taxe , et cette fonction est arbitraire , les quantités 8,6,8,84... etc. sont les racines réelles et positives de 1 équation
5 — etc.
3ao.
Si l'on suppose que le cylindre ait été plongé pendant un temps infini dans un liquide entretenu à une température constante, toute la masse se trouvera également échauffée, et la fonction ? x qui représente l'état initial sera remplacée par l'unité. Après cette substitution , 1 équation générale représentera exactement les progrès successifs du refroidis-^ sèment. %
Si le temps écoulé t est infini, le second membre de l'équation ne contiendra plus qu'un seul terme, savoir : celui ou se trouve la moindre de toutes les racines 6o0a16j, etc.; c'est pourquoi, en supposant que ces racines sont rangées selon leur grandeur, et que 6 est la moindre de toutes, l'état final du solide sera exprimé par l'équation
v- — = l(xyx.utdx) —ïkt q
' TFTxTx u' 6 *'
On déduirait de la solution générale des conséquences semblables à celles que présente le mouvement de la chaleur dans une masse sphérique. On reconnaît d'abord qu'il y a une infinité d'états particuliers , dans chacun desquels les rapports établis entre les températures initiales se conser-
vent jusqu'à la fin du refroidissement. Lorsque 1 état initial ne coïncide pas avec un des états simples, il est toujours composé de plusieurs d'entre eux, et les rapports des températures changent continuellement, à mesure que le temps augmente. En général le solide arrive bientôt à cet état, ou les températures des différentes couches décroissent continuellement en conservant les mêmes rapports. Lorsque le rayon X est très-petit , on trouve que les températures dé-
croissent proportionnellement à la fraction e X. Si au contraire ce rayon X a une valeur extrêmement grande, l'exposant de e dans le terme qui représente le système final des températures contient le quarré du rayon total. On voit par-là comment la dimension du solide influe sur la vitesse finale du refroidissement. Si la température du cylindre dont le rayon est X , passe de la valeur A à la valeur moindre B, dans un temps T, la température d'un second cylindre de rayon égal à X' passera de A à B dans un temps différent 1 . Si les deux solides ont peu d'épaisseur , le rapport des temps T et T sera celui des diamètres. Si au contraire les diamètres des cylindres sont très-grands , le rapport des temps T et T sera celui du quarré des diamètres.
