RECTANGULAIRE

3ai.

Ld*v d* v d*v équation ^ï+7^t + -jp = 0 que nous avons rapportée

dans la section IV du chapitre II, page 119, exprime le mouvement uniforme de la chaleur dans l'intérieur d'un prisme dune longueur infinie , assujétie par son extrémité à une température constante, et dont on suppose les températures initiales nulles. Pour intégrer cette équation, on cherchera en premier lieu une valeur particulière de a>, en remarquant que cette fonction v doit demeurer la même, lorsque y change de signe , ou lorsque « change de signe ; et qu'elle doit prendre une valeur infiniment petite, lorsque la distance x est infiniment grande. D'après cela il est facile de voir que l'on peut choisir pour valeur particulière de 1/

la fonction #e~"**.cos. nycos.p z; et faisant la substitution on trouve m' — n>7 — p* ^=0. Mettant donc pour n et p des quantités quelconques, on aura m=l/V-+-/>\ La valeur de y doit aussi satisfaire à L'équation déterminée

JcV + 35T = °>

lorsque 7=/ ou et à l'équation ^ v + ^ = o, lors-

que z=l ou — /, section IV du chapitre II, article ia5. Si

Ton donne à v la valeur précédente , on aura

— n sin. ny + | cos. ny=o et — p sin. pz -t- ~k cos./>z=o}

ou ?^=plvmg.pl, ^=«/tang. ni,

on voit par -là que si l'on trouvait un arc e tel que étang. « équivalût à la quantité toute connue ^ /, on prendrait pour

n ou pour p la quantité Or , il est facile de reconnaître

qu'il y a une infinité d arcs qui , multipliés respectivement par leur tangente donnent un même produit déterminé

d'où il suit que l'on peut trouver pour n ou pour p une

infinité de valeurs différentes.

Si l'on désigne par £, «, £j etc. les arcs en nombre infini

qui satisfont à l'équation déterminée t tang. e = y , on

pourra prendre pour n un quelconque de ces arcs divisé par /. Il en sera de même de la quantité/?; il faudra ensuite prendre m1 = +p\ Si l'on donnait à n et à p d'autres valeurs, on satisferait à l'équation différentielle; mais non pas à la condition relative à la surface. On peut donc trouver de cette manière une infinité de valeurs particulières de v, et comme la somme de plusieurs quelconques de ces valeurs satisfait encore à l'équation , on pourra former une valeur plus générale de v.

On prendra successivement pour n et pour p toutes les