CHAPITRE IV

dre l'intégrale — kf dyfdz depuis x = o jusqu'à

x=l, demi-épaisseur de la barre, et ensuite depuis r.=o jusqu'à y — l On aura ainsi la quatrième partie du flux total. ,

Le résultat de ce calcul fait connaître la loi suivant laquelle décroît la quantité qui traverse une section du prisme ; et 1 on voit que les parties éloignées reçoivent très-peu de chaleur du foyer, parce qt»e Celle qui en émane im*nédiàtemenp, se détourne en partie Vers la surface, pour s& dissiper dans l'air. Celle qui traverse une section quelconque du prisme, forme, si l'on peut parler ainsi, une nappe de chaleur dont la densité varie d'un point de la section à l'autre. Elle est continuellement employée à remplacer, la chaleur qui s'échappe par la surface , dans toute l'extrémité du prisme située à la droite.' de la section ; il est donc nécessaire que toute la chaleur qui sort pendant un certain temps de cette partie du prisme,, soit exactement compensée par celle qui y pénètre en ver$u de la conduçibilité intérieure du solide.

Pour vérifier ce résultat, il faut calculer le produit du flnx établi à la surface. L'élément de la surface est dx dy, et v étant sa température hv dx dy est la quantité de chaleur qui sort de cet élément pendant l'unité de temps. Donc l'intégrale hfdxfdy.v exprime la chaleur totale émanc'e d'une portion finie de la surface. Il 'faut maintenant employer la valeur connue de v en y, en supposant s = /", puis intégrer une fois depuis /=o jusqu'à y=l, et une seconde

fois depuis x=x jusqu'à On trouvera ainsi la moitié

4og THÉORIE DE LÀ CHALEUR.

de la chaleur qui sort $e la surface supérieure du prisme; et orenant quatre fois le résultat, on aura la chaleur perdue par les surfaces supérieure et inférieure.

Si t*on se sert maintenant de l'expression hfdxfdz.v, que Von donne à. y dans v sa valeur /, et que Ton intègre une fois depuis z=o jusqu'à z=/,et une seconde fois depuis «=0 jusqu'à -xsss - j on aura la quatrième partie de la

chaleur qui s'échappe par les surfaces latérales.

L'intégrale h fdx f dyv , é\*nt prise entre1 les limites désignées donne

! (' ,'• ( cl' "t »• •

-p===:.sinm/c(».^e , ; .»

et l'intégrale hfdxfdz.v donne

. x , = cos. m / sin. /*/ e

Donc la quantité de chaleur qûe le prisme perd à- s> surface, dans toute là partie- située à la droite delà section dont l'abscisse est x, se compose <le tous les termes analogues à

celui-ci

. jh'a i e X ^m + — sin. m l cos. n l r+- ' cos. m /.an . n l •

. D'un autre côté la quantité de chaleur qui pénètre pendant le même temps à travers la section dont labsoisse est x, se compose des termes analogues à. celui-ci :

kkaX/ne + n* — xV »»»-+-«' ... , - e .sin.ml.sin.nl;

il est donc nécessaire que l'on ait l'équation