CHAPITRE VIII

ployée dans la question précédente, art. (3a i). Nous désignerons ces racines par nt n, ns nA etc. Ainsi l'on pourra donner à v la valeur particulière exprimée par l'équation

v=e v 1 1 cos. n x.cos. p > .cos. qz,

pourvu que l'on mette au lieu de n, une des racines //3, rii nÀ etc. , et qu'il en soit de même de j> et de rj.

On peut former ainsi une infinité de valeurs particulières de o) % et il pst visible que la somme de plusieurs de c es valeurs satisfera aussi à l'équation différentielle {a) et aux équations déterminées Pour donner à v la forme générale que la question exige , on réunira un nombre indéfini de termes semblables à celui-ci :

a e v 1 1 ' . cos. n x cos. py cos. q z. Nous exprimerons cette valeur de v par l'équation suivante :

(a.cos.n.xe +acos.n>xe +acos.nixe 3 + etc.

("— A n ' t k ti 3 / k n ' t \ cos.w.je ' + cos. n,ye -\-cos. n.ye 3 -f-etc.J

(fc A ^ f > A ft 1 f A~ n * t \

cos.rc.se ' +cos.//Jse * ' -\-l-os. n}ze 1 + etc. Y

Le second membre doit se former du produit des trois facteurs écrits dans les trois lignes horizontales, et les quantités a.a^Oi etc. sont des coefficients inconnus. Or, selon l'hypothèse, si Ton fait t — o^ la température doit être la

4i4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

même pour tous les points du cube. Il faut donc déterminer at ax <z, etc. , en sorte que la valeur de n soit constante, quelles que soient celles de x de y et de z, pourvu que chacune de ces valeurs soit comprise entre a et — a, Désignant par i la température initiale commune à tous les points du solide, on posera lequation

i =at cos. n, x + a, cos. n,x + a> cos. nsx + etc.

dans laquelle il s'agit de déterminer a, a> a% etc. Après avoir multiplié chaque membre par cos. n,x, on intégrera x — o jusqu'à x=a : or, il résulte de l'analyse emj précédemment art. (3a5), que l'on a l'équation

si ii. n, a cos. n, x sin. n, a. cos. n, x tin.n, <x.cos.n, x

: — : 1 : 1- : + Pt

/ sin. in,a\ f sut. %n%a\ / sin. an,fl\

désignant par j*t- la quantité ~ + > on aura

sin. n,a sin.n.a sin. nta ,

1 = — cos. ntx-\ - cos. nxt-i ï— cos. ns x + etc.

n.ap, «,a|*,

cette équation aura toujours lieu lorsque Ton donnera à x une valeur comprise entre a et — a.

On peut en conclure l'expression générale de v, elle est donnée par l'équation suivante :