CHAPITRE VIII. 4i

kn*t &\n.nta — kn't

Ssin.n,a — kn, t . sin. nta *>=( — cos.ntxe H -cos.n.xe

sin. n^a — knSt \

+ — T- cos.rtjxe -4- etc. )

kn't s\n.n,a — kn't

/sm.rra — kn't sm.nta

( —cos.n.ye H -cos.nj-e

sin.n.a — knft \

-\ ^-COS.rta ye etc. )

(sin. n.a — kn't . sin.n.a — kn't -cos. nxze H -cos.^ze n,ap,a n,a^a

L'expression de v est donc formée du produit de trois fonctions semblables, lune de x, l'autre dey et la troisième dez, ce qu'il est facile de ve'rifier immédiatement.

En effet, si dans l'équation

dv , / d* d d* v d% -v\

Tt ~ h\d^ + ~dy> + JP)1

l'on suppose v=XYZ;en dénotant par X une fonction de x et ty par Y une fonction de y et t, et par Z une fonction de z et t , on aura

XY£ + XZ£ + Y.Z.£=*(X.Y.^ + XZ.^ + Y.Z4£);

on prendra les trois équations séparées

dz ,d*z dY,jd'Y dx >zyx

Tt—Kdz^ dï—k7J;' ~d7—*~d?'

4i6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

On doit avoir aussi pour la condition relative à la surface

d'où l'on déduit

«*X. h v rfY A v dZ h rj

dx k 7 dy K 1 a; K.

Il suit de là que pour résoudre complètement la question il suffît de prendre l'équation ^ = 'k d^ et d'y ajouter le-

quation de condition ^ 4- ~ « = o qui doit avoir lieu, lorsque x=a. On mettra ensuite à la place de x, ou/ ou z et Ton aura les trois fonctions X, Y, Z, dont le produit est la valeur générale de v.

Ainsi la question proposée est résolue comme il suit :

v = <?(sc, t).f(jr, t).?(z, t)

, v sin./i.a — 'kn,%t sin.n.a —

fb(x. 0= cos. /i, are H — co&.n.xe

sin.n.a — 'kn.*t

H —cos. n^xe ' -1- etc.

ttj etc., sont donnés par l'équation suivante:

ha

1 tang. £ = , dans laquelle e représente na; la valeur de (x, est

1 / sin. î«,a\

On trouve de la même manière les fonctions 9 (/,0î

Googje