CHAPITRE VIII. 4i

On peut se convaincre que cette valeur de d résoud la question dans toute son étendue, et que l'intégrale complète de 1 équation aux différences partielles {a) doit nécessairement prendre cette forme pour exprimer les températures variables du solide.

En effet, l'expression de v satisfait à l'équation (a) et aux conditions relatives à la surface. Donc les variations des températures qui résultent dans un instant de l'action des molécules et de l'action de l'air sur la surface , sont celles que l'on trouverait en diflerentiant la valeur de v par rapport à t. Il s'ensuit que si, au commencement d'un instant, la fonction v représente le système des températures , elle représentera encore celles qui ont lieu au commencement de l'instant suivant , et l'on prouve de même que Tétat variable du solide sera toujours exprimé par la fonction v, dans laquelle on augmentera continuellement la valeur de t. Or cette même fonction convient à l'état initial : donc elle représentera tous les états ultérieurs du solide. Ainsi on est assuré

que toute solution qui donnerait pour v une fonction différente de la précédente, serait erronée.

Si l'on suppose que le temps écoulé t est devenu trèsgrand , on n'aura plus à considérer que le premier terme de l'expression de v; car les valeurs n.n./ii etc. sont rangées par ordre en commençant par la plus petite. Ce terme est donné par l'équation

v= ^ n a j cos. nx x cos.nty co&.nze ,

voilà donc l'état principal vers lequel le système des tempé-

/4i8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

ratures tend continuellement, et avec lequel il coïncide sans erreur sensible après une certaine valeur de t. Dans cet état la température de chacun des points décroît proportionnel-

lement aux puissances de la fraction c ' ; alors les états successifs sont tous semblables , ou plutôt ils ne différent que par la quantité des températures qui diminuent toutes comme les termes d'une progression géométrique, en conservant leurs rapports. On trouvera facilement, au moyen de l'équation précédente , la loi suivant laquelle les températures décroissent d'un point à l'autre dans le sens des diagonales ou des arêtes du cube, ou enfin d'une ligne donnée de position. On reconnaîtra aussi quelle est la nature des surfaces qui déterminent les couches de même température. On voit que dans l'état extrême et régulier que nous considérons ici, les points d'une même couche conservent toujours la même température, ce qui n'avait point lieu dans l'état initial et dans ceux qui lui succèdent immédiatement. Pendant la durée infinie de ce dernier état la masse se divise en une infinité de couches dont tous les points ont une température commune.

Il est facile de déterminer pour un instant donné la température moyenne de la masse , c'est-à-dire , de celle que l'on obtiendrait en prenant la somme des produits du volume de chaque molécule par sa température , et en divisant cette somme par le volume entier. On formera ainsi l'expression

j 1 ^a3 1^ d "» 3U* est Ce^e ^e ^ tempcrature moyenne V.

L'intégrale doit être prise successivement par rapport a x, à y et à z, entre les limites a et — a; v étant égal au produit X . Y . Z , on aura