CHAPITRE VIII. i
e a> est égale à e « *
ainsi les dernières températures que l'on observe, ont une
expression de cette forme A e a . Si maintenant dans 1 équation &in na = i — ^ a, on suppose que le second
membre diffère très-peu de l'unité, on trouve ^=^^p, donc
la franction e n est e a
On conclut de là que si le rayon de la sphère est trèspetit, les vitesses finales du refroidissement dans ce solide et dans le cube circonscrit sont égales , et qu'elles sont l'une et l'autre en raison inverse du rayon ; c'est-à-dire que si la température d'un cube dont le demi-côté est a , passe de la valeur A à la valeur B dans le temps t, une sphère dont le demi-diamètre est a, passera aussi dans le même temps de la température A à la température B. Si la quantité a venait à changer pour l'un et l'autre corps , et devenait a' le temps nécessaire pour passer de A à B aurait une autre valeur t', et le; rapport des temps t et t' serait celui des demi-côtés a et a'. 11 n'en est pas de même lorsque le rayon a est extrêmement grand : car e équivaut alors à x- et les valeurs de
n a sont les quantités w , 2t, 3*, 4*, etc.
On trouvera donc facilement dans ce cas les valeurs des fractions
e a* » « > ces valeurs sont e 4a' et e a* '
On tire de là ces deux conséquences remarquables: i° si les deux cubes ont de grandes dimensions, et que a et d soient leurs demi-côtes; si le premier emploie le temps t pour passer de la température A à la température B , et le second le temps t' pour ce même intervalle ; les temps t et t seront proportionnels aux quarrés à* et à' des demi-côtés. On a trouve' un résultat semblable pour les sphères de grande dimension, a0 si un cube a pour demi -côté une longueur considérable a , et qu'une sphère ait la même quantité a pour rayon , et que pendant le temps t la température du cube s'abaisse de A à B, il s'écoulera un temps différent t' pendant que la température de la sphère s'abaissera de A à B, et les temps / et t' seront dans le rapport de 4 à 3. .
Ainsi le cube et la sphère inscrite se refroidissent également vite lorsqu'ils ont une petite dimension ; et dans ce cas la durée du refroidissement est pour l'un et l'autre corps proportionnelle à l'épaisseur. Si le cube et la sphère inscrite ont une grande dimension, la durée du refroidissement 6nal n'est pas la même pour les deux solides. Cette durée est plus grande pour le cube que pour la sphère, dans la raison de 4 à 3 , et pour chacun des deux corps en particulier la durée du refroidissement augmente comme le carré du diamètre.
On a supposé que le corps se refroidit librement dans l'air atmosphérique dont la chaleur est constante. On pourrait assujétir la surface à une autre condition, et concevoir, par exemple, que tousses points conservent, en vertu d'une cause extérieure, la température fixe o. Les quantités n , p , q , qui entrent clans la valeurde^ sous le signe cosinus, doivent être telle*
