CHAPITRE VIII. • fo

dans ce cas, que no: devienne nulle, lorsque x reçoit sa valeur complète a, et qu'il en soit de même de py et de qz.

Si le côté du cube ia est représenté par - c, c étant la Ion -

gueur de la circonférence dont le rayon est i;. , . on pourra, exprimer une valeur particulière de v par l'équation suivante, qui satisfait en même temps à l'équation générale du

mouvement de la chaleur et à l'état de la surface,

v — e C.d' . cos. x cos. 7 cos. z.

Cette fonction est nulle , quel que soit le temps t, lorsque x

ou y ou s reçoivent leurs valeurs extrêmes + je ou — -.c:

mais l'expression de la température ne peut avoir cette forme simple qu'après qu'il s'est écoulé un temps considérable, à moins que l'état initial donné ne soit lui - même représenté par la fonction cos. ^r. cos. y. cos. z. C'est ce que l'on a supposé dans la sect. VIII du chap. I, art. ioo, p. 95. L'analyse précédente démontre la vérité de l'équation employée dans l'article que l'on vient de citer. Il faut remarque* que le nombre désigné par * dans -cet article, est le même que c : il équivaut à la circonférence entière, et non à la demi -circonférence.

On a traité jusqu'ici les questions fondamentales de la théorie de la chaleur, et considéré l'action de cet élément dans les corps principaux. L'ordre et l'espèce des questions ont été tellement choisis, que chacune d'elles présentât une difficulté nouvelle et d'un degré plus élevé. On a omis à dessein les questions intermédiaires qui sont en trop grand

4a6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

On peut supposer, au lieu du solide infini, un prisme d'une très -petite épaissir, et dont la surface convexe est totalement impénétrable à la chaleur. On ne considère donc le mouvement que dans «ne ligne infinie, qui est l'axe commun de tous les plans.

La question est plus générale, lorsqu'on attribue des tem-" pératures entièrement arbitraires à tous les points de la partie de la masse qui a été échauffée, tous les autres points du solide ayant la température initiale o. Les lois de la distribution de la chaleur dans une masse solide infinie, doivent avoir un caractère simple et remarquable ; parce que le mouvement n'est point troublé par l'obstacle des surfaces et par lactiOn du milieu.

La position de chaque point étant rapportée à trois axes rectangulaires, sur lesquels on mesure les coordonnées x, y, z, la température cherchée est une fonction des variables x,y,z, et du temps t. Cette fonction v ou 9 (x, y, z, t) satisfait à

1 équation générale — (^. + ^ + ) («). De

plus, U est nécessaire qu'elle représente l'état initial qui est arbitraire ; ainsi, en désignant par F (x,y, z) la valeur donnée de la température d'un point quelconque, prise lorsque le temps est nul, c'est-à-dire, au moment où la diffusion commence ; on doit avoir y(x,y, z, 0) = F (x, y, z) (b). Il faut trouver une fonction v des quatre variables x, y, z, t, qui satisfasse à l'équation différentielle (a) et à 1 équation déterminée (&).

Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l'intégrale est assujettie à une troisième condition qui dépend