CHAPITRE IX. 4a

de 1 état de la surface. C'est pour cette raison que l'analyse en est plus composée, et que la solution exige l'emploi des termes exponentiels. La forme de l'inte'grale est beaucoup plus simple , lorsqu'elle doit seulement satisfaire à 1 état initial ; et il serait facile de de'terminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais pour exposer cette partie de la théorie, et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s'opère, il est préférable de considérer d'abord le mouvement linéaire, en résolvant les deux questions suivantes; on verra par la suite comment elles s'appliquent au cas des trois dimensions.

Ire question : une partie a b d'une ligne infinie est élevée dans tous ses points à la température 1 ; les autres parties de la ligne ont la température actuelle o;on suppose que la chaleur ne peut se dissiper dans le milieu environnant ; il faut déterminer quel est l'état de la ligne après un temps donné. On peut rendre cette question plus générale, en supposant, i° que les températures initiales des points compris entre a et b sont inégales et représentées par les ordonnées d'une ligne quelconque, que nous regarderons d'abord comme composée de deux parties symétriques (voyezfig. i5); a° qu'une partie de la chaleur se dissipe par la surface du solide, qui est un prisme d'une très-petite épaisseur et d'une longueur infinie.

La seconde question consiste à déterminer les états successifs d'une barre prismatique , dont une extrémité est assujettie à une température constante, et qui est infiniment prolongée. La résolution de ces deux questions dépend de

l'intégration de l'équation

dv K d*v H.L ~di CD ' dx* CD-S^'

(article io5), qui exprime le mouvement linéaire de la chaleur, v est la température que le point placé à la distaucc x de l'origine doit avoir après le temps écoulé t; K,H,C, D , L , S , désignent la conducibilité propre , la conducibilité extérieure , la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, et l'aire de cette section.

Nous considérons d'abord le premier cas , qui est celui ou la chaleur se propage librement dans la ligne infinie dont une partie a b a reçu des températures initiales quelconques; tous les autres points ayant la température initiale 0. Si l'on élève en chaque point de la barre l'ordonnée d une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu'après une certaine valeur du temps f , l'état du solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par v=Fx l'équation donnée qui correspond à l'ctat initial, et nous supposons d'abord pour rendre le calcul plus simple que la Ggure initiale de la courbe , est composée de deux parties symétriques , en sorte que Ton a la condition F# = F(— x). Soit

C3=*' CHTS^'* dans l'équation ^-=k on fera v=e~"A'. « et l'on aura ^ =A i-?. On prend»