CHAPITRE IX. 4a

pour u la valeur particulière a cos. q x e~~ ; a et q sont des constantes arbitraires. Soient q, , ^, , , ^4 . . . etc. une suite de valeurs quelconques , et a,, a., nJt ax. . . etc., une suite de valeurs correspondantes du coefficient Q,on aura

t=a, cos. (qt x) e~k t-\-ai cos. (q, x) t+aJ cos. (q> x) ê~Jc'li 1 + etc.

Supposons i° que les valeurs qxi q,, qit qt. . . etc., croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses ^ d'une certaine courbe; en sorte quelles deviennent égales à dq, zdq , 3dq , (\dq , . . . etc.; dq étant la différentielle constante de l'abscisse; 20 que les valeurs at, a,, a3, aA. . . etc. sont proportionnelles aux ordonnées Q de la même courbe, et quelles deviennent égales à Qtdq, Q, dq, Qj dq. . . etc. Q étant une certaine fonction de q. Il en résulte que la valeur de u pourra être exprimée ainsi :

u=j* dç Q.cos. qx e~~*y

Q est une fonction arbitraire fq, et l'intégrale peut être prise de£ = o à q = ^> La difficulté se réduit à déterminer

convenablement la fonction Q.

Pour y parvenir, il faut supposer t=o dans l'expression de u et l'égaler à Fx. On a ainsi l'équation de condition

Fa?= J dq Q.cos. qx.

Si l'on mettait au lieu de Q une fonction quelconque de q,

43o THÉORIE DE LA CHALEUR.

et que l'on achevât l'intégration depuis q = o jusqu'à q = * ,

on trouverait une fonction de x; il s'agit de résoudre la question inverse, c'est-à-dire, de connaître quelle est la fonction de q qui , étant mise au lieu de Q , donnera pour résultat la fonction F x, problème singulier dont la solution exige un examen attentif.

En développant le signe de l'intégrale, on écrira comme il suit l'équation dont il faut déduire la valeur de Q :

F x=d q Q, cos. q,x + dqQ, COS. q,x-hdqQi COS. qs x

dq Q4 cos. qx x -+- dq Qs cos. q^x etc.

Pour faire disparaître tous les termes du second membre, excepté un seul , on multipliera de part et d'autre par d x cos. rx, et l'on intégrera ensuite par rapport à x depuis x = o jusqu'à x = nr.y n étant un nombre infini; r représente une grandeur quelconque égale à l'une des suivantes : q,, q,, qi> » etc., ou ce qui est la même chose dq, zdq, 3dq, t\dq... etc. Soit q, une valeur quelconque de la variable q, et qj une autre valeur qui est celle que l'on a prise pour r; on aura r—q\ dq et q=q, dq. On considérera ensuite le nombre infini n comme exprimant combien l'unité de longueur contient de fois l'élément dq,en sorte que

l'on aura n—^. En procédant à l'intégration, on reconnaîtra que la valeur de l'intégrale J dx cos.qx cos. rx est nulle, toutes les fois que r et q sont des grandeurs différentes ; mais cette même valeur de l'intégrale est - n tt , lorsque q=r. Il suit delà que l'intégration élimine dans le second