CHAPITRE IX. 43i

membre tous les termes, excepté un seul: savoir, celui qui contient q} ou r. La fonction qui affecte ce même terme est Q,, on aura donc

j dx F x. cos. qx=:dq.Qjlntty et mettant pour n dq sa valeur i , on a

~* = j dxFxcos. qx:

on trouve donc en général dx V x cos. qx. Ainsi,

pour déterminer la fonction Q qui satisfait à la condition proposée, il faut multiplier la fonction donnée Fa; par dx cos. qx f et intégrer de x nulle à x infinie, en multipliant

le résultat par -; c'est-à-dire, que de 1 équation

Fx= j dq fq cos. qx ,

on déduit celle - ci ,fq = ^ j dx Fx cos. qx, la fonction

F x représentant les températures initiales d'un prisme infini dont une partie intermédiaire seulement est échauffée. En substituant la valeur de fq dans l'expression de Fa:, on obtient l'équation générale

T^Fx—jdq cos. qxjdxFx cos. qx. («)

Si l'on substitue dans l'expression de v la valeur que l'on a trouvée pour la fonction Q, on a l'intégrale suivante, qui contient la solution complète de la question proposée

43a THÉORIE DE LA CHALEUR.

t^.=e~htJ dq cos. qxe***1 'fêla: F.r cos. q x.

L'intégrale, par rapport à x, étant prise de x nulle à x infinie, il en résulte une fonction de q, et prenant ensuite

l'intégrale par rapport k q de q=o k q= ^t on obtient

pour v la fonction de x et t, qui représente les états successifs du solide. Puisque l'intégration , par rapport à x , fait disparaître cette variable, on peut la remplacer dans l'expression de v par une variable quelconque a, en prenant l'intégrale entre les mêmes limites, savoir depuis

K=o jusqu'à On a donc

™ =ze~ht J cl q cos. qxe~ </«F« cos. ^a, o o

ou ™ = ê~htJdx Fa J dq e~~*V * cos. qx cos. q%.

, par rapport à q , donnera une fonction de x. f et a, et en prenant l'intégrale par rapport à «, on trouve une fonction de x et t seulement. Il serait facile d'effectuer dans la dernière équation l'intégration par rapport à q et et l'on changerait ainsi l'expression de v. On peut en général donner diverses formes à l'intégrale de l'équation

dv r d* v ,

d7=kdï-hv> elles représentent toutes une même fonction de x et /.