CHAPITRE IX

Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre a et b, depuis x = — i , jusqu'à #=i , aient pour valeur commune i, et que les températures de tous les autres points soient nulles, la fonction Fx sera donnée par cette condition. Il faudra donc intégrer, par rapport à x, depuis x=o jusqu'à x= i , car le reste de l'intégrale est nulle d'après l'hypothèse. On trouvera ainsi :

Qol sm.q ïc v — ht Cdq — a* kt = T.'q et = C Jq6 ' C0S* qX Sm* q'

Le second membre peut être facilement converti en série convergente , comme on le verra par la suite ; il représente exactement l'état du solide en un instant donné, et si l'on y fait t=o, on exprime l'état initial.

Ainsi la fonction | J^- sm.q .cos.q x équivaut à l'unité,

si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre — i et i : mais cette fonction est nulle si l'on donne à x toute autre valeur non comprise entre — i et i. On voit par -là que les fonctions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies.

Pour donner une seconde application de la formule précédente , nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l'action constante d'un même foyer, et qu'elle est parvenue à l'état permanent que l'on sait être représenté par une courbe logarithmique.

Il s'agit de connaître suivant quelle loi s'opérera la diffu-

sion de la chaleur après qu'on aura retiré le foyer. En désignant par Fa? la valeur initiale de la température, on aura

F#=Ae KS; A est la température initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul,

A==I et KS=I' On a donc Fx=e~x on en déduit Q=Jdxe~~x cos.qx

et prenant l'intégrale de x nulle à x infinie Q=~^.

Ainsi la valeur de v en x et t, est donnée par l'équation suivante :

v — htÇdq.ctA. qx

Si 1 on tait *=o, on aura — =J l + > ce (FU cor" respond à 1 état initial. Donc l'expression ^ J dJ^'9* équivaut à e~x. Il faut remarquer que la fonction Fx, qui représente l'état initial ne change point de valeur d'après l'hypothèse lorsque x devient négative. La chaleur communiquée par le foyer avant que l'état initial ne fût formé, s'est propagée également à la droite et à la gauche du point o , qui la reçoit immédiatement, il s'ensuit que la ligne

dont l'équation serait y— - f d1c^f '9x ^ composée de

deux branches symétriques que l'on forme en répétant à droite et à gauche de l'axe de y la partie de la logarithmique qui est à la droite de l'axe des y, et a pour équation