CHAPITRE IX

y=e~~*. On voit ici un second exemple dune fonction discontinue exprimée par une intégrale définie. Cette fonc-

tion J l + équivaut a e lorsque x est positive , mais elle est e* lorsque x est négative.

3 e OI.

La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie , dont l'extrémité est assujettie à une température constante , se réduit , comme on le verra dans la suite , à celle de la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie ; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d'affecter également les deux moitiés contiguës du solide y est distribuée d une manière contraire ; c'est-à-dire qu'en représentant par Fa; la température d'un point dont la distance au milieu de la ligne est x, la température initiale du point opposé pour lequel la distance est — x, a pour valeur Fx. Cette seconde question diffère très-peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode semblable : mais on peut aussi déduire la solution de l'analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.

Supposons qu'une partie a b de la barre prismatique infinie soit échauffée d'une manière quelconque , voy. fig. (16) et que la partie opposée a p soit dans un état pareil , mais de signe contraire ; tout le reste du solide ayant la température initiale o. On suppose aussi que le milieu environnant est entretenu à la température constante o, et qu'il reçoit dé la barre ou leur communique la chaleur par la surface extérieure. Il s'agit de trouver quelle sera, après un temps donné

t , la température v d'un point dont la distance à l'origine

est x.

On considérera d'abord la barre échauffée comme ayant une longueur finie 2X, et comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la

température constante o; on fera ensuite X = ^-

On emploiera d'abord l'équation et faisant

— ht ou 7 ri* u

v=e .u on aura ^ = Ar^, on exprimera comme il suit la valeur générale de u

u=ate~k8l,t sin.glx+a1é^kg mtsm.gtx

+ a> ê~kë^ 1 sin. x + a< e~~ 8 4 ' sin. gh x -+- etc. ;

faisant ensuite x=X, ce qui doit rendre nulle la valeur de u, on aura, pour déterminer la série des exposants la condition sin. #X=o,ougpX=i7;, t'étant un nombre entier. Donc

u^=atè~ sin. (o?£) + X* sin.^2x^J +etc.

Il ne reste plus qu'à trouver la série des constantes a^a^ a^a^ etc. Faisant t=o on a

u=F x=al8in.(x^ + a> sin.^ax0 +ai$m.(Zx^ + etc.

CHAPITRE IX. 437 soit x \—r> et désignons Fa: ou F (r-j par/r; on aura fr=at sin.r+tf, sin. 2 r -t- # 3 sin. 3 r + a4sin.4^-4- etc.

Or, on a trouvé précédemment tf. = ^ j dr/r.sm. ir, l'intégrale étant prise de r=o à r=%. Donc

5 ai— y* ^.r Fx.sin.

L'intégrale devait être prise de r=o à r=x; donc elle doit être prise par rapport à x depuis x=o jusqu'à x=X. En faisant ces substitutions, on forme l'équation

i>= |- e~flt^e~~ sin.x^rj* Fxsin.^a:^

+ f~ X1 a sin. Çzx^fdxTx sin. ^a,r|) + etc. J

Telle serait la solution, si le prisme avait une longueur finie représentée par 2 X. Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu'ici; il ne reste plus qu'à supposer la dimension X infinie. Soit X=/*r, n étant un nombre infini ; soit aussi q une variable dont les accroissements infiniment petits dq sont tous égaux; on

écrira ^ au lieu de n. Le terme général de la série qui entre dans l'équation (a) étant

e~" X1" siu. (jx ^Jdx Fx sin.

On représentera par ^- , le nombre * , qui est variable et qui devient infini. Ainsi Ton aura

En faisant ces substitutions dans le terme dont il s'agit, on trouvera e y sin. qx j dx Fx sin. qx. Chacun de ces

termes doit être divisé par Xou~, il devient par -là une

quantité infiniment petite, et la somme de la série n'est autre chose qu'une intégrale, qui doit être prise par rapport

à q de q=o à Ç = \- Donc

<v=îe~htj^dq e~~kq t sin. qx j dx Fx sin. qx (»).

l'intégrale, par rapport à x, doit être prise de x=o à x=- , ce qui donne une fonction de q; et la seconde inté-

grale doit être prise par rapport k q de q=okq=l> On peut aussi écrire

™=e~htJdq c~~k* 'sin. qx J </«Fasin. q*} o o

ou ^=e-h'fd*V.fdq e-'

L'équation (a) contient la solution générale de la question ; et, en substituant pour F xune fonction quelconque, assujettie