CHAPITRE IX

ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en x et t la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction Fa? correspond à une ligne formée de deux parties égales et alternes.

Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF (fig. 17) qui représente cet état initial soit formée de deux arcs égaux placés à droite et à gauche du point fixe o, le mouvement variable de la chaleur est exprimé par l'équation

^■=.e~ht j daF aj dq e~~ q 1 cos. qx cos. q*.

Si la ligne f 18) qui représente l'état initial est formée de deux arcs pareils et alternes , l'intégrale qui donne la valeur de température est

~-=e jdaLjxjdqe * sin. qx sin. £«. o o

Lorsqu'on supposera la chaleur initiale distribuée d'une manière quelconque , il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l'expression de v. En effet , quelle que soit la fonction <j> x qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres F x fx dont l'une correspond à la ligne F F F F , et l'autre à la ligne ffff, en sorte que l'on a ces trois conditions :

Fx=F(-x), /*==-; /(— *), 9x=Fx+fx.

44o THÉORIE DE LA CHALEUR.

On a déjà fait usage de cette remarque dans les art. a33 et a34- On sait aussi que chaque état initial donne lieu à un état variable partiel qui se forme comme s'il était seul. La composition de ces divers états n'apporte aucun changement dans les températures qui auraient lieu séparément pour chacun d'eux. Il suit de là qu'en désignant par v la température variable produite par l'état initial que représente la fonction totale 9 x, on doit avoir

^==e-A'(yV? COS. qxfdxF* COS. q* o o

-f- Jdqe ' sin. qxjd* f* sin. q*.^ o 0

Si l'on prenait entre les limites — £ et +1 les intégrales

par rapport à «,il est évident que l'on doublerait les résultats. On peut donc , dans l'équation précédente , omettre au premier membre le dénominateur a, et prendre

dans le second les intégrales pour ce, depuis a= — ^ jusqu'à a =+-• On voit facilement aussi que l'on pourrait

écrire Jd* 90c cos. q%y au lieu de j d% F« cos. q%\ car il ré-

suite de la condition à laquelle est assujettie la fonction /a, que l'on doit avoir

0= / dttfo. COS,. q a ,