CHAPITRE VII

On peut encore écrire

Jdatfn sin. q* au lieu de fd%/% cos. ya,

car on a évidemment

o. =j da. Fa sin. Ça-

On en conclut

*Jdqe * Çj^da. <pa cos. qx COS.qx

+ ^/a 9a sin. ça sin. ç-r^ ,

OU r.V — e htjdqe *? ^rfaçaCOS. — a),

ou t.v — c ht £d* j^dq e ^'^cos.fox — a)- -4 ô

La solution de cette seconde question fait connaître distinctement quel rapport il y a outre les intégrales définies que nous venons d'employer, et les résultats de l'analyse que nous avons appliquée aux solides d'une ligure deter-

44a THÉORIE DE LA CHALEUR,

minée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions, une valeur infinie ; chacun des termes devient infiniment petit , et la somme de la série n'est autre chose qu'une intégrale. On pourrait passer directement de la même manière et sans aucune considération physique des diverses séries trigonométriques que nous avons employées dans le chapitre III aux intégrales définies ; il nous suffira de donner quelques exemples de ces transformations dont les résultats sont remarquables.

Dans l'équation ^ * = sin. u -»- ^ sin. 3 u -+- ~ sin. 5 u + l- sin. 7 w + etc.

on écrira au lieu de u la quantité ^; a; est une autre variable, et n est un nombre infini égal à ~\ q est une quantité

formée successivement par l'addition de ses parties infiniment petites égales à dq. On représentera le nombre variable i par Si dans le terme général — ~ — sin. (2**+ 1 ) on met pour i et n leurs valeurs; ce terme deviendra ^| sin. 2 q x. Donc la somme de la série serai j ^ sin. *tq r,

l'intégrale étant prise de q = o k q=— on a donc J e-

quation l- w = 1 sin. 2 q x qui a toujours lieu, quelle que soit la valeur positive de x. Soit zqx=r, r étant une nouvelle variable, on aura et - f — sin r •

eette valeur de l'intégrale définie J -£> sin. r est connue depuis long-temps. Si en supposant r négatif on prenait la même intégrale de r=o à r— — ^, on aurait évidemment

un résultat de signe contraire — ~ *.

La remarque que nous venons de faire sur la valeur de l'intégrale J'y sm.r, qui est £ x ou — £ « peut servir à faire connaître la nature de l'expression

a C d g. sin. g

- j -2—JLC0S.qXf

dont nous avons trouvé précédemment (article 348) la valeur égale à i ou à o , selon que x est ou n'est pas comprise entre i et — i. En effet, on a

y* ^cos.£#sin.£=^ y^sin. q.x + i — ij^&in.qx — i ;

le premier terme vaut 4 r ou — -J x, selon que x -h i est une quantité positive ou négative; le second \f-^ sm- Q x — 1 vaut ^ « ou — ^w, selon que x — i est une quantité positive ou négative. Donc l'intégrale totale est nulle si x •+■ i et x — • i ont le même signe ; car , dans ce cas , les deux termes se détruisent. Mais si ces quantités sont de signe différent, c'est-à-dire si l'on a en même temps

x+ i >o et x — Ko,

le» deux termes s'ajoutent et la valeur de TinUferale est \ «.

Donc l'intégrale définie ^ j — sin.q cos. qx est une fonction

de x égale à i si la variable x a une valeur quelconque comprise entre i et — i ; et cette même fonction est nulle pour toute autre valeur de x non comprise entre les limites i et — i .

On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions

/dgcos.qx Çqdqsm.qx

la première (art. 35o) équivaut à c~ lorsque x est positive,

et à cx lorsque x est négative. La seconde équivaut à e~*

si x est positive, et à — ex si x est négative, en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur, lorsque x est positive, et ont des valeurs de signe contraire lorsque x est négative. L'une est représentée par la ligne eece, (tig. 19) l'autre par la ligne esee, (fig. 28 ). L'équation

1 sin. a.sin. .r sin. 2 a.sin. 2 x sin. 3 a.sin. 3 x . — S n. X — — ^ ; — + — — -, — ; 1 — 7T-; r etc.,

que nous avons rapportée (art. 22G), donne immédiatement

l'intégrale * J Ù^L1™^JÏ ; cctte dernière expression

équivaut à siu. x, si x est comprise entre o et et sa valeur est nulle toutes les fois que x surpasse

La même transformation s'applique à l'équation générale

faisant "=^> <>n désignera ou ? par fx; on introduira dans le calcul une quantité q qui reçoit des accroissements infiniment petits, égaux à dq, n sera égal à ^ et

' * 2q> substituant ces valeurs dans le terme général

on trouvera dq sin. qx J dx fx sin. qx. L'intégrale par

rapport à a est prise de u = o à f/=r,donc l'intégration par l'apport à x doit avoir lieu de x=o à ou de x

nulle à x infinie.

On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette équation

^ x fx —jdq sin. q x jd x fx sin. qx, (<?) o o

c'est pourquoi, en désignant par Q une fonction de q, telle que l'on ait f ll—j dç Q sin. équation dans laquelle fu

est une fonction donnée, on aurar Q=| j fu&in. q u, l'in-

grale étant prise de u nulle à u infinie. Nous avons déjà résolu une question semblable ^art. 346), et démontré l'équation générale

*- r. Fx ■= j dq cos. qx^dxFx cos. q x (e) o o

qui est analogue à la précédente.

Pour donner une application de ces théorèmes , nous supposerons fx = xr, le second membre de 1 équation (e) deviendra par cette substitution jdq sin. qxjdx sin. qx xr- L'intégrale

fjX sin. ou

équivaut à /rfa sin. w.ar, l'intégrale étant prise de w nulle à a infinie. Soit p. cette intégrale totale

f du sin. tt.wr;

il reste à prendre l'intégrale

Jdq sin. {qx)-^—^ ou y.xrjdu sin. m.ïT^"1* ^.

désignant par v cette dernière intégrale, prise de u nulle à m infinie, on aura pour résultat des deux intégrations successives le terme xr p.v. On doit donc avoir, selon la condition exprimée par l'équation (e),

-Tcd? =(x.v x oup.v=-w;

ainsi le produit des deux transcendantes