CHAPITRE IX. 447 j du u sin. u et j -^w~rsin. u est

Par exemple, si r= — -, on trouve pour / — ^= — sa valeur connue \/l x, on trouve de la même manière

/du cos. u . /7

Et de ces deux équations on pourrait aussi conclure la sui-

vante: j dq e"- * =^|/x, qui est employée depuis long-

temps.

On peut résoudre , au moyen des équations (e) et (e) , le problème suivant , qui appartient aussi à l'analyse des différences partielles : Quelle est la fonction Q de la variable q qui doit être placée sous le signe intégral pour que l'expression J dq Qe ^x soit égale à une fonction donnée, l'intégrale étant prise de q nulle à q infinie; mais sans s'arrêter à ces diverses conséquences dont l'examen nous éloignerait de notre objet principal , on se bornera au résultat suivant , que l'on obtient en combinant les deux équations (e) et (e). Elles peuvent être mises sous cette forme :

^it/x= j dq sin. qxjdafx sin. q%

oc oo - »

et ~ * Fx=j*dq cos. qxjd% Fa cos. q*.

Si Ion prenait les intégrales par rapport à a, depuis — ^jusqu'à + -, le résultat de chaque intégration serait double, ce qui est une conséquence nécessaire des deux conditions

/«=-/(-«) et F« = F(— «), on a donc les deux équations

oo -+-00 ? fx = fdq sin. qxj dafa sin. q a

et ic Fa= Jdq COS. qx j VaF 'a COS.

On a remarqué précédemment qu'une fonction quelconque çx se décompose toujours en deux autres, dont l une, F x satisfait à la condition/.r = F ( — jr), et dont l'autre/a- satisfait à la condition />=—/( — x). On a aussi les deux équations

o=Jda Fa sin. q a et o= j* da fa. cos. qa^ on en conclut

co -+- oo

w (F #4- fx) = r. <p x=z J'^q sin. qx j da fa sin. q «

~jdq COS. qx j da F a COS. q<x,