CHAPITRE IX

ou ityx=J d» ytt.j dq (sin. qx sin. ^a-4-cos. qx cos. q %)

-f-îC 00

ou enfin yx=^J do. yaj* dq cos. (7 (x — o))- (E)

L'intégration par rapport à q donne une fonction de x et a, et la seconde intégration ferait disparaître la variable a. Ainsi la

fonction représentée par l'intégrale définie jdq cos.(qx — a)

a cette singulière propriété , que si on la multiplie par une fonction quelconque ça et par da, et si l'on intègre par rapport à a entre des limites infinies , le résultat est égal à irox; en^orte que l'effet de l'intégration est de changer a en x et de multiplier par le nombre iz.

On pourrait déduire directement l'équation (E) du théorème rapporté dans l'art. a34,p- 256eta57, qui donne le développement d'une fonction quelconque Fa: en série de sinus et de cosinus d'arcs multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différentielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la théorie analytique de la chaleur ; il est indispensable d'en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.

La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies , telles que l'expriment l'équation (E) , et les deux équations élémentaires dont elle dérive donne lieu à di-

verses conséquences que Ton omettra ici parce qu'elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d'autres formes. On obtient par exemple ce résultat :

00 oo

yX=^Jd(L yttjdq COS. (qx — a), (E) o o

qui diffère de l'équation (E) , en ce que les limites de l'intégrale prises par rapport à a sont o et ; au lieu d'être — 7 et + 7. Il faut considérer dans ce cas que les deux équations (E) et (E) donnent pour le second membre des valeurs égales lorsque la variable x est positive. Si cette variable est négative, l'équation (E') donne toujours pour le second membre une valeur nulle. Il n^en est pas de même de l'équation (E), dont le second membre équivaut à 1:9 x, soit que l'on donne à x une valeur positive ou une valeur négative. Quant à l'équation (K) elle résoud le problême suivant. Trouver une fonction de x telle que si x est positive, la valeur de la fonction soit 9 x, et que si x est négative, la valeur de la fonction soit toujours nulle.

La question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie peut encore être résolue en donnant à l'intégrale de l'équation aux différences partielles une forme différente que nous ferons connaître dans l'article suivant. Nous examinerons auparavant le cas où la source de la chaleur est constante.

Supposons que la chaleur initiale étant répartie d'une manière quelconque dans la barre infinie, on entretienne la

CHAPITRE IX. 45t tranche A à une température constante , tandis qu'une partie de la chaleur communiquée se dissipe par la surface extérieure. Il s'agit de déterminer l'état du prisme après un temps donné , ce qui est l'objet de la seconde question que nous nous sommes proposée. En désignant par i la température constante de l'extrémité A, par o celle du milieu, on

aura e v ks pour l'expression de la température finale du point situé à la distance x de cette extrémité, ou seulement e X en supposant, pour simplifier le calcul, que la H L

quantité ^-g soit égale à l'unité. Désignant par v la température variable du même point après le temps écoulé t , on a , pour déterminer v cette équation dv K d*j> H.L

v=e y ks

soit maintenant v=e v iS + «',

du' K H.L , du' ,</»«' , ,

on aura ^-=__ u, ou =

en remplaçant ^ par k et c p g par h. Si l'on fait

— ht du jd'u

u=e u on a ^=*^;

la valeur de u ou v — e v k.s en celle de la différence entre la température actuelle et la température finale; cette différence u, qui tend de plus en plus à s'évanouir , et dont la dernière valeur est nulle équivaut d'abord à

45a THÉORIE DE LA CHALEUR,

en désignant par F x la température initiale d'un point situé à la distance x. Soit fx l'excès de cette température initiait sur la température finale , il faudra trouver pour u une fonction qui satisfasse à l'équation ^ = k^~t — hu, et qui ait pour valeur initiale fx, et pour valeur finale o. Au point A,

ou or=o, la quantité v — e v k. s a, par hypothèse, une valeur constante égale à o. On voit par-là que u représente une chaleur excédente qui est d'abord accumulée dans le prisme , et qui ensuite s'évanouit , soit en se propageant à l'infini , soit en se dissipant dans le milieu. Ainsi pour représenter l'effet qui résulte de réchauffement uniforme de l'extrémité A d'une ligne infiniment prolongée, il faut convoir i° que cette ligne est aussi prolongée à la gauche du point A, et que chaque point situé à droite est présentement affecté de la température initiale excédente; a° que l'autre moitié de la ligne à la gauche du point A est dans un état contraire; en sorte qu'un point placé à la distance — a; du point A a pour température initiale —fx: ensuite Ta chaleur commence à se mouvoir librement dans l'intérieur de la barre , et à se dissiper à la surface. Le point A conserve la température o , et tous les autres points parviennent insensiblement au même état. C'est ainsi que l'on peut ramener le cas où le foyer extérieur communique incessamment une nouvelle chaleur, à celui où la chaleur primitive se propage dans l'intérieur du solide. On pourrait donc résoudre la question proposée de la même manière que celle de la diffusion de la chaleur, articles (347) et (353); ma»s afin de multiplier les moyens de résolution dans une matière aussi nouvelle ,