CHAPITRE IX

on employera l'intégrale sous une forme différente de celle que nous avons considérée jusqu'ici.

On satisfait à l'équation ~ — k-^ en supposant « égale

à e Or cette dernière fonction de x et t peut être

mise sous la forme d'intégrale définie, ce qui se déduit trèsfacilement de la valeur connue de (dq e~ *\ On a en effet

dq e ? , lorsque l'intégrale est prise de q = -

kq — +^. On aura donc aussi l/*= J dq e~~^q + b^ , b

étant une constante quelconque et les limites de l'intégrale étant les mêmes qu'auparavant. De l'équation

v^=e-h'jdq ,-<f +»*»),

on conclut, en faisant b* = kt

donc Ta valeur précédente de u ou e .e équivaut à

±fdq e-te-l****»*1*;

on pourrait aussi supposer u égale à la fonction

— n x kn%t a e e ,

a et n étant deux constantes quelconques; et l'on trouvera de même que cette fonction équivaut à

On peut donc prendre en général pour valeur de u la somme

dune infinité de valeurs semblables , et l'on aura

Les constantes at, a,,a3 etc., et nlf n„ ns etc. étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de

x + *q\/kt\ on a donc U=J dq e~* ?(x + 2q\/TÏ).

L'intégrale doit être prise de tt=— 7 à u ,et la valeur

de u satisfera nécessairement à l'équation j£- Cette

intégrale , qui contient une fonction arbitraire , n'était point connue lorsque nous avons entrepris nos recherches $ur la théorie de la chaleur, qui ont été remises à l'Institut de France dans le mois de décembre 1807 : elle a été donnée par M. Laplace, dans un ouvrage qui fait partie du tome VI des Mémoires de l'école polytechnique ; nous ne faisons que l'appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut

v=e~htfdq e~q\{x + zq\^t)—e~*\/'Wt

lorsque t =0 la valeur de « est Far — e * 53 ou fx donc yx = f dq e~~q 9a? et yx=-^rfx. Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l'intégrale , est déterminée au