CHAPITRE IX

Cette équation contient l'intégrale générale de la proposée (A) : le procédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué par ce qu'il s'applique aux cas les plus variés ; il est principalement utile lorsque l'intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la surface. En l'examinant avec attention on reconnaîtra que les transformations qu'il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la question. On peut aussi, dans l'équation (y), changer d'indéterminées, en prenant

fc^-.., îça-*

on aura, en multipliant le second membre par un coefficient constant A,

Prenant les trois intégrales entre les limites — -et et

faisant t = o afin de connaître l'état initial, on trouvera i>=2\A^V z). Ainsi, en représentant les tempé-

ratures initiales connues par F(x, y, z), et donnant à la

constante A la valeur ' on parviendra à l'intégrale

= tz~~J dn jdp Jdq e~ n <e~~p .e~q F(x+2n\/l, y+2pl/j, z+aqi/t)

qui est la même que celle de l'article (372).

48o THÉORIE DE LA CHALEUR.

L'intégrale de 1 équation (A) peut être mise sous plusieurs autres formes parmi lesquelles on choisit celle qui convient le mieux à la question que l'on se propose de résoudre.

Il faut observer en général, dans ces recherches, que deux fonctions z, t) sont les mêmes lorsqu'elles satisfont

lune et l'autre à l'équation différentielle (A), et lorsqu'elles sont égales pour une valeur déterminée du temps. Il suit de ce principe que les intégrales, qui se réduisent, lorsque^ fait f=o, à une fonction arbitraire ¥(x,y, sj, ont toutes le même degré de généralité; elles sont nécessairement identiques. «

Le second membre de l'équation différentielle (a) était K

multiplié par ^-j?, et l'on a suppose dans l'équation (b) ce coefficient égal à l'unité. Il suffira, pour rétablir cette quantité dans le calcul, d'écrire au lieu de e, dans l'intégrale (i), ou dans l'intégrale (I). Nous indiquerons maintenant quelques-unes des conséquences que l'on déduit de ces équations.

La fonction qui sert d'exposant au nombre e, ne peut représenter qu'un nombre absolu , ce qui suit des principes généraux du calcul , comme on l'a prouvé explicitement dans la section IX du chapitre II page i5a. Si dans cet exposant

on remplace l'indéterminée t par ^-yj, on voit que les dimensions de K,C,D et t, par rapport à l'unité de longueur étant — 1,0,— -3 et o, la dimension du dénominateur ^

est 2 comme celle de chaque terme du numérateur, en sorte que la dimension totale de l'exposant est o. considérons le