CHAPITRE IX. 48i

cas où la valeur du temps t augmente de plus en plus, et pour simplifier cet examen, employons d'abord l'équation

qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie. Supposons que la chaleur initiale est contenue dans une portion donnée de la ligne, depuis x = — h jusqu'à x—-\- g, et que l'on attribue à a- une valeur déterminée X, qui fixe la position d'un certain point m de cette ligne. Si

le temps t croit sans limite, les termes -jj- et -f- -~ qui

entrent dans l'exposant deviendront des nombres absolus de plus en plus petits, en sorte que, dans le produit

On pourra omettre les deux derniers facteurs qui se confondent sensiblement avec l'unité. On trouvera ainsi,

C'est l'expression de l'état variable de la ligne après un temps très-long ; elle s'applique à toutes les parties de cette ligne qui sont moins éloignées de l'origine que le point m.

L'intégrale délinie f d % /a désigne la quantité de chaleur

totale B contenue dans le solide, et l'on voit que la distribution primitive n'a plus d'influence sur les températures

48a THÉORIE DE LA CHALEUR.

après un temps très -long. Elles ne dépendent plus que de la somme B, et non de la loi suivant laquelle la chaleur a

été répartie.

Si l'on suppose qu'un seul élément <* placé à l'origine a reçu la température initiale f, et que tous les autres avaient

la température o , le produit <*f sera équivalent à l'intégrale

d*fa ou B. La constante / sera extrêmement grande,

puisqu on suppose la ligne *> très -petite.

L'équation v= * - - . w f représente le mouvement qui

aurait lieu, si un seul élément placé à l'origine eût été échauffé. En effet, si l'on donne à x une valeur quelconque

«, non inOniment petite, la fonction -p=- sera nulle lorsqu'on supposera £=o. Il n'en sera pas de même si la valeur

de x est nulle. Dans ce cas la fonction -p=- reçoit au contraire une valeur infinie, si r=o. On connaîtra distinctement la nature de cette fonction , si l'on applique les principes généraux de la théorie des surfaces courbes à

la surface qui aurait pour équation z=~^. j

L'équation v— a J,- ^- .<*./ exprime donc la température variable d'un point quelconque du prisme, lorsqu'on suppose toute la chaleur initiale réunie dans un seul élément

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