CHAPITRE L

tion générale <z— v

z, v désignant la température

de la section dont la hauteur est z.

2° La quantité de chaleur qui s'écoule uniformément, pendant l'unité de temps, à travers l'unité de surface prise sur une section quelconque pafallèle aux bases , est , toutes choses d'ailleurs égales, en raison directe de la différence a — b des températures extrêmes et en raison inverse de la distance e qui sépare ces bases. Cette quantité

de chaleur est exprimée par K . , ou — K . ~ , en

déduisant de l'équation générale la valeur de — qui est

constante; ce flux uniforme est toujours représenté pour une substance donnée, et dans le solide dont il s'agit, par la tangente de l'angle compris entre la perpendiculaire e et la droite dont les ordonnées représentent les températures.

3° Sil 'une des surfaces extrêmes du solide étant toujours assujétie à la température a, l'autre plan est exposé à l'air maintenu à une température fixe b; ce plan en contact avec l'air, acquiert, comme dans le cas précédent, une température fixe p, plus grande que b, et il laisse échapper dans l'air, à travers l'unité de surface, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur exprimée par h (p — b),h désignant la conducibilité extérieure du plan.

Ce même flux de chaleur h (p — b) est égal à celui qui traverse le prisme et dont la valeur est K (a — p), on a donc

l'équation h (p — &)=K . ^—-^ qui donne la valeur de p.

Go THÉORIE DE LA CHALEUR.

SECTION V

Loi des températures permanentes dans un prisme d'une

petite épaisseur.

On appliquera facilement les principes qui viennent detre exposés à la question suivante, qui est très -simple en ellemême , mais dont il importait de fonder la solution sur une théorie exacte.

Une barre métallique , dont la forme est celle d'un parallélipipède rectangle d'une longueur infinie , est exposée à l'action d'un foyer de chaleur qui donne à tous les points de son extrémité A une température constante. Il s'agit de déterminer les températures fixes des différentes sections de la barre.

On suppose que la section perpendiculaire à l'axe est un quarré dont le côté 2 / est assez petit pour que l'on puisse sans erreur sensible regarder comme égales les températures des différents points d'une même section. Lair dans lequel la barre est placée est entretenu à une température constante o, et emporté par un courant d'une vitesse uniforme.

La chaleur passera successivement dans l'intérieur du solide, toutes ses parties situées à la droite du foyer, et qui n'étaient point exposées immédiatement à son action, s'échaufferont de plus en plus, mais la température de chaque point ne pourra pas augmenter au-delà d'un certain terme. Ce maximum de température n'est pas le même pour chaque section ; il est en générai d'autant moindre que cette section

CHAPITRE I. 6c est plus éloignée de l'origine; on désignera par v la température fixe d'une section perpendiculaire à l'axe , et placée à la distance x de l'origine A.

Avant que chaque point du solide ait atteint son plus haut degré de chaleur, le système des températures varie continuellement, et s'approche de plus en plus d'un état fixe, qui est celui que l'on considère. Cet état final se conserverait de lui-même, s'il était formé. Pour que le système dqp températures soit permanent, il est nécessaire que la quantité de chaleur fiui traverse, pendant l'unité de temps, une section placée à la distance x de l'origine, compense exactement toute la chaleur qui s'échappe, dans le même temps, par la partie de la surface extérieure du prisme qui est située à la droite de la même section. La tranche, dont l'épaisseur est dxy et dont la surface extérieure est 8 Idx, laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur exprimée par %hlvdx, h étant la mesure de la conducibilité extérieure du prisme. Donc, en prenant l'intégrale f8h.h>dx

depuis x = o jusqu'à x= £ , on trouvera la quantité de chaleur qui sort de toute la surface de la barre pendant l'unité de temps; et si l'on prend la même intégrale, depuis x=o jusqu'à x=x, on aura la quantité de chaleur perdue par la partie de la surface comprise entre le foyer et la section placée à la distance x. Désignant par C la première intégrale dont la valeur est constante, et par ffthlvdx la valeur variable de la seconde; la différence C — /Shlvdx exprimera la quantité totale de chaleur qui s'échappe dans l'air, à travers la partie de la surface placée à la droite de la section. D'un autre côté, la tranche du solide, comprise entre

6a THÉORIE DE LA CHALEUR,

deux sections infiniment voisines placées aux distances x et x-i-dx, doit être assimilée à un solide infini, termine' par deux plans parallèles, assujétis à des températures fixes v et v H- dv , puisque, selon l'hypothèse, la température ne varie pas dans toute l étendue d'une même section. L'épaisseur du solide est dx, et l'étendue de la section est (\V : donc, la quantité de chaleur qui s'écoule uniformément, pendant l'unit^ de temps, à travers une section de ce solide, est,

d'après les principes précédents, — ^l'k^, k étant la conducibilité spécifique intérieure; on doit donc avoir l'équation 4/"Jt. j|j=C— flhlvâx, ouA/^ = aA^.

On obtiendrait le même résultat, en considérant l'équilibre de la chaleur dans la seule tranche infiniment petite, comprise entre les deux Sections dont les distances sont x et x + dx. En effet, la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps , traverse la première section placée, à la distance

a;, est — ^l* kj^- Pour trouver celle qui s'écoule pendant le

même temps, à travers la section suivante placée à la distance x -h dx, il faut, dans l'expression précédente, changer

x en x 4- dx, ce qui donne — ^l' dÇ^^y Si l'on

retranche cette seconde expression de la première , on connaîtra combien la tranche que terminent les deux sections, acquiert de chaleur pendant l'unité de temps; et puisque l'état de cette tranche est permanent, il faudra que toute cette chaleur acquise soit égale à celle qui se dissipe dans l'air à travers la surface extérieure Sldx de cette même