CHAPITRE i

placé à l'origine. Cette ] appartient à une question générale, parce Qu'après mi teams assez long, l'état variable du solide est toujours le même que si la chaleur initiale eût été rassemblée à l'origine. La loi suivant laquelle la chaleur a été distribuée, influe beaucoup sur les températures variables du prisme; mais cet effet s'affaiblit de plus en plus, et finit par devenir entièrement insensible. *

Il est nécessaire de remarquer que l'équation réduite (y) ne s'applique point à la partie de la ligne qui est placée au-delà du point tn, dont la distance a été désignée^ par X. En effet, quelque grande que soit la valeur de temps, on

pourrait choisir une valeur de x telle que le terme e At différât sensiblement de l'unité, et alors ce facteur ne doit pas être supprimé. Il faut donc se représenter que l'on a marqué de part et d'autre de l'origine o deux points, m et m'y placés à une certaine distance X ou — X, et que l'on augmente de plus en plus la valeur du temps, en observant les états successifs de la partie de la ligne qui est comprise entre m et m. Cet état variable convergera de plus en plus vers celui qui est exprimé par l'équation

Al

Quelle que soit la valeur attribuée à X, on pourra toujours trouver une valeur du temps assez grande pour que l'état de la ligne m' o m ne diffère pas sensiblement de celui

qu'exprime l'équation précédente (y). Si l'on demande que cette même équation s'applique à d'autres parties plus éloignées de l'origine, il faudra supposer une valeur du temps plus grande que la précédente.

L'équation (j), qui exprime dans tous les cas l'état final, d'une ligne quelconque, fait voir qu'après un temps extrêmement long , les divers points acquièrent des temperatures presqu'égales , et que les températures d'un même point finissent par varier, en raison inverse de la racine quarrée des temps écoulés depuis le commencement de la diffusion. Les décaissements de la température d'un point quelconque deviennent toujours proportionnels aux accroissements du temps.

Si l'on faisait usage de l'intégrale

J ai/;v>i/*

pour connaître l'état variable des points de la ligne placés à une grande distance de la portion échauffée, et que, pour exprimer cette dernière condition, on supprimât encore le

facteur e , les conséquences que l'on obtiendrait

ne seraient pas exactes. En effet, en supposant que la portion échauffée s'étende seulement depuis «=o jusqu'à a=g et que la limite g soit très-petite par rapport à la distance x du point dont on veut déterminer la température; la

quantité — qui forme l'exposant se réduit en effet

CHAPITRE IX. ■ » m à -rjj't c'est-à-dire que la raison des deux quantités

approche d'autant plus de l'unité que la valeur de x est plus grande par rapport à celle de a : mais il ne s'ensuit pas que l'on puisse remplacer l'une de ces quantités par l'autre dans l'exposant de e.En général l'omission des termes subordonnés ne peut point avoir lieu ainsi dans les exprès- v sions exponentielles ou -trigonométriques. Les quantités placées sous les signes de sinus ou de cosinus, ou sous le signe exponentiel e sont toujours des nombres absolus, et l'on ne peut omettre que les parties de ces nombres , dont la valeur est extrêmement petite ; leurs valeurs relatives ne sont ici d'aucune considération. Pour jugèr si l'on peut réduire l'expression

jda.f%e l*kt à celle-ci e^ktjditf%^ o o

il ne faut pas examiner si le rapport de -ràa est très-grand,

mais si les termes lif , ~Z*L sont des nombres très-petits.

Cette condition a toujours lieu lorsque le temps écoulé t est extrêmement grand ; mais elle ne dépend point du rap-

port —

Supposons maintenant que Ton veuille connaître combien il doit s'écouler de temps pour que les températures de la partie

du solide, comprise depuis x=o jusqu'à x=X, puissent

être représentées à très-peu près par l'équation réduite

ét que o et soient g, les limites de la portion primitivement échauffée.

La solution exacte est donnée par i'équation

/Va/a* /-x

et la solution approchée est donnée par l'équation

Ji désignant la valeur ^-^ de la conducibilité. Pour que l'équation (/) puisse être en général substituée à la préce^

dente (0, il faut que le facteur e , qui est celui que

Ton omet, diffère très -peu de l'unité; car s'il était i ou ^

on pourrait craindre de commettre une erreur égale à la valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit donc

a xx— 9.

e 4 *r s* i Hhtt , « étant une petite fraction , comme rj? ou ttt? on en conclura la condition