CHAPITRE IX. 5oi

On voit par la seconde équation que le temps qui répond au maximum de température, croît proportionnellement à la distance. Ainsi la vitesse de l'onde (si toutefois on peut appliquer cette expression au mouvement dont il s'agit ) est constante , ou plutôt elle le devient de plus en plus , et conserve cette propriété en s éloignant à l'infini de l'origine de la chaleur.

On rcMftr^ncftt «wo&î dan* la première équation que la

quantité fe * exprime les températures permanentes que prendraient les différents points de la barre, si l'on affectait l'origine d'une température fixe ft comme on peut le voir dans le chapitre I , page 65.

Il faut donc, pour se représenter la valeur de V, concevoir, que toute la chaleur initiale que le foyer contient, est également distribuée dans une portion de la barre dont la longueur est b ou l'unité de mesure. La température/ qui en résulterait pour chaque point de cette portion , est en quelque sorte la température moyenne. Si l'on supposait que la tranche placée à l'origine fût retenue pendant un temps infini à la température constante /, toutes les autres tranches acquerraient des températures fixes dont l'expression

générale est fe v en désignant par x la

5oa THÉORIE DE LA CHALEUR.

de la tranche. Ces températures fixes représentées par les ordonnées d'une logarithmique sont extrêmement petites, lorsque la distance est un peu considérable ; elles décroissent, comme on le sait, très-rapidement à mesure que l'on s'éloigne de l'origine. Or l'équation (î) fait voir que ces températures fixes , qui sont les plus hautes , que chaque point puisse acquérir, surpassent beaucoup les plus hautes températures qui se succèdent pendant la diffusion de la chaleur. Pour déterminer ce dernier maximum , il faut calculer la valeur du maximum fixe, la multiplier par le nombré

constant (^)* £7^' et (HV*ser Par *a racme quarrée de La distance x.

Ainsi les plus hautes températures se succèdent dans toute l'étendue de la ligne, coinmh wHnnné*** H'»in*» 1« garithmique divisées par les racines quarrées des abscisses, et le mouvement de l'onde est uniforme. Cest suivant cette loi générale que la chaleur réunie un un seul point se propage dans le sens de la longueur du solide.

Si Ton regardait comme nulle la conducibilité de la surface extérieure du prisme, ou si la conducibilité X ou l'épaisseur 2 g étaient supposées infinies, on obtiendrait des

résultats très-différents. On omettrait alors le terme x\

et l'on aurait

V = — /- et iTTi = -;r\

a 1/» . t/» jc7 CD a

Dans ce cas la valeur du maximum est en raison inverse de

CHAPITRE IX. 5o3 la distance. Ainsi le mouvement de Tonde ne serait point uniforme. Il faut remarquer que cette hypothèse est purement théorique, et que si la conducibilité H n'est pas nulle, mais seulement une quantité extrêmement petite , la vitesse de Tonde n'est point variable dans les parties du prisme qui sont très -éloignées de l'origine. En effet, quelque petite que soit la valeur de H, si cette valeur est donnée ainsi que celles de K et g, et si Ton suppose que la distance x aug-

mente sans limite , le terme ^ x% deviendra toujours beaucoup plus grand que ^. Les distances peuvent d'abord être

assez petites pour que ce terme ^ doive être conservé

seul sous le radicaL Alors les temps sont proportionnels aux quarrés des distances : mais à mesure que la chaleur s'écoule dans le sens de la longueur infinie , la loi de la propagation s'altère, et les temps deviennent proportionnels aux distances. La loi initiale, c'est-à-dire celle qui se rapporte aux points extrêmement voisins du foyer, diffère beaucoup de la loi finale qui s'établit dans les parties très-éloignées, et jusqu'à l'infini : mais , dans les portions intermédiaires , les plus hautes températures se succèdent suivant une loi mixte, exprimée par les deux équations précédentes (D) et (C).

Il nous reste à déterminer les plus hautes températures pour le cas où la chaleur se propage à l'infini, et en tout sens dans la matière solide. Cette recherche ne présente aucune difficulté d'après les principes que nous avons établis.

Lorsqu'une portion déterminée d'un solide infini a été ''chauffée, et que toutes les autres parties de la masse ont la

5o4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

température initiale o , la chaleur se propage dans tous les sens , et après un certain temps letat du solide est le même que si elle avait été primitivement réunie dans un seul point à l'origine des coordonnées. Le temps qui doit s'écouler pour que ce dernier effet ait lieu est extrêmement grand , lorsque les points de la masse sont très-éloignés de l'origine. Chacun de ces derniers points qui avait d'abord la température o s'échauffe insensiblement ; sa température acquiert ensuite la plus grande valeur qu'elle puisse recevoir ; et elle finit par diminuer de plus en plus, jusqu'à ce qu'il ne reste dans la masse aucune chaleur sensible. L'état variable est en général représenté par l'équation

-(*-*)' -i&sï -{c-*y

*=/^/^cW^ (E) les intégrales doivent être prises entre les limites a= — a, a=alf b = — bt h = , c = — c, c=-c

Les limites — at, +a„ — b,, + bt, — c,, +c,, sont données ; elles comprennent toute la portion du solide qui a été primitivement échauffée. La fonction f[at b, c) est aussi donnée. Elle exprime la température initiale d'un point dont les coordonnées sont a, b, c. Les intégrations définies font disparaître les variables a, b, c, et il reste pour v une fonction de x, y, z, t, et des constantes. Pour déterminer le temps 0 qui répond au maximum de v, en un point m donné , il faut tirer de l'équation précédente la valeur de