CHAPITRE IX 5o

une portion déterminée d'un solide infini pénètre progressivement toutes les autres parties dont la température initiale était nulle. Cette question est résolue par une analyse plus simple que celle des chapitres précédents, parce qu'en attrihuant au solide des dimensions infinies , on fait disparaître les conditions relatives à la surface, et que la principale difficulté consiste dans l'emploi de ces mêmes condition. Les conséquences générales du mouvement de la chaleur dans une masse solide non terminée sont très-remarquables, parce que le mouvement n'est point troublé par l'obstacle des surfaces. Il s'accomplit librement, en vertu des propriétés naturelles de la chaleur. Cette analyse est, à proprement parler , celle de l'irradiation de la chaleur dans la matière solide.

SECTION IV

Comparaison des intégrales.

L'intégrale de l'équation de la propagation de la chaleur se présente sous différentes formes qu'il est nécessaire de comparer. Il est facile, comme on le voit dans la section deuxième de ce chapitre, pages 47* e* 47^ de ramener le cas des trois dimensions à celui du mouvement linéaire ; il suffit donc d'intégrer l'équation

dv K d* y d7 — C.D'dx"

5io THÉORIE DE LA CHALEUR.

ou celle-ci :

Pour déduire de cette équation différentielle les lois de la propagation de la chaleur dans un corps d'une figure déterminée, par exemple, dans une armille, il était nécessaire de connaître l'intégrale, et de l'obtenir sous une certaine forme propre à la question , et qui ne pourrait être suppléée par aucune autre. Cette intégrale a été donnée pour la première fois dans notre Mémoire remis à l'Institut de France le 21 décembre 1807 (page ia4, art. 84) • elle consiste dans l'équation suivante, qui exprime le système variable des températures d'un anneau solide :

v==^lZfd*F*e Rlco8-(*'-fTn)- M

R est le rayon de la circonférence moyenne de l'armille; l'intégrale J, par rapport à a, doit être prise depuis *=o

jusqu'à a=2irR, ou, ce qui donne le même résultat, depuis «= — *R jusqu'à a = icR. i est un nombre entier quelconque, et la somme 2 doit être prise depuis «= — i jusqu'à * = + i . v désigne la température que l'on observerait après le temps écoulé t, en chaque point d'une section séparée par l'arc x de celle qui est à l'origine. On représente par v — Yx la température initiale d'un point quelconque

CHAPITRE IX. 5n de l'anneau. Il faut donner à * les valeurs successives

o, + i,+a,+3,+ 4- etc., et — i, — a,— 3, — 4» etc et au lieu de cos. ») écrire

cos. Q. 0 . cos. Q-ifc) + sm- (* - if) -sm- Q'£)'

On obtient ainsi tous les termes de la valeur de v. Telle est la forme sous laquelle doit être mise l'intégrale de l'équation (a) , pour exprimer le mouvement variable de la chaleur dans une armille (chap. IV, page 272). On considère le cas où la forme et l'étendue de la section génératrice de l'armille sont telles, que les points d'une même section conservent des températures sensiblement égales. On suppose aussi qu'il ne se fait à la superficie de l'anneau aucune déperdition de la chaleur.

L'équation (a) s'appliquant à toutes les valeurs de R, on y peut supposer R infini ; elle donne dans ce cas la solution de la question suivante : L'état initial d'un prisme solide d'une petite épaisseur et d'une longueur infinie, étant connu et exprimé par u=Fï, déterminer tous les états subséquents. On considère le rayon R comme contenant un nombre n de fois le rayon 1 des tables trigonométriques. Désignant par q une variable qui devient successivement dq ,

5i2 THÉORIE DF LA CHALEUR.

%dq, 5dq, idq. . . etc., le nombre infini n sera exprimé par ^ , et le nombre variable i par Faisant ces substitutions, on trouve

v = ^^,dq Jda Fec<Ty 1 . COS.(f.r — q%).

Les termes qui entrent sous le signe 2 sont des quantités différentielles , en sorte que ce signe devient celui d'une intégrale définie ; et Ton a

v=~ JdaFaJdq e 9 %t .cos. (qx—qa). ^

Cette équation est une seconde forme de l'intégrale de l'équation (a) ; elle exprime le mouvement linéaire de U chaleur dans un prisme d'une longueur infinie (chap. VII, page 440- Elle est une conséquence évidente de la première intégrale (a). >

On peut, dans l'équation (p), effectuer l'intégration définie par rapport à q : car on a , selon un lemme connu , et que l'on a démontré précédemment (art. 375),

J dze z co&.Q.kz — e y/*.

Faisant donc z%=q'tt on trouvera