CHAPITRE IX. 5i

donc l'intégrale ( p) de l'article précédent devient

Si l'on emploie au lieu de a une autre indéterminée p, en faisant ^X£ = p, on trouve

Cette forme ($) de l'intégrale de l'équation (a) a été donnée par M. Laplace , dans le tome VIII des Mémoires de l'Ecole polytechnique. Ce grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie qui représente l'intégrale.

Chacune des équations (p), (y), ($), exprime la diffusion linéaire de la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie. Il est évident que ce sont trois formes d'une même intégrale, et qu'aucune ne peut être considérée comme plus générale que les autres. Chacune d'elles est contenue dans l'intégrale (a) dont elle dérive en donnant à R une valeur infinie.

Il est facile de développer la valeur de v déduite de l equa-

5i4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

tion (a) en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l'une ou l'autre variable. Ces développements se présentent d'eux-mêmes , et nous pourrions nous dispenser de les rapporter ; mais ils donnent lieu à des remarques utiles pour la recherche des intégrales. En désignant par , ç",

f'\ etc., les fonctions fx9#t ~~fip9x> 'Jp9x> etc> on a

£^=v", et v—c jdtv:

la constante représente ici une fonction quelconque de x. En mettant pour v sa valeur c + jdtv", et continuant toujours des substitutions semblables, on trouve

vz=c+ j dt.v

= c.+ j dt (c" + j dt.v"^

= c+ fdt{c"+ fdt(c" + jdt

ou

Dans cette série , c désigne une fonction arbitraire en x. Si l'on veut . ordonner le développement de la valeur de v, selon les puissances ascendantes de a;, on écrira

d* v dv

dx* — dl>