CHAPITRE IX. 5i5 et, désignant par <p,, etc., les fonctions

Tt* 7F* d?^ etc''

on aura d'abord v=a + bx + J dx Jdxt ; a et b représentent ici deux fonctions quelconques de t. On mettra ensuite pour vt sa valeur af+blx+ J^xf ^x vu>' eti Pour vu , sa valeur au + bux + j ix Jdxv m , et ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,

v=a + bx + jdx j*dxvt =a + bx+fdxfdx (a, + b, +fdXfdxv)

-=a + bx+ Jdxjdx^al+blx+ JdxJdxÇait+ b , x+ pixjdx ^ ,

+ xb +-^b. H * . Kbi H * R A 4- etc. ,xr\

a. 3 ' 3.3.4.5 " a. 5. 4*5. 0.7 {Sl)

Dans cette série, a et b désignent deux fonctions arbitraires de t.

Si dans cette série donnée par 1 équation (X) on met, au lieu de a et b, deux fonctions ç£ et 4»/, et qu'on les développe selon les puissances ascendantes de t, en ordonnant le résultat total par rapport à ces mêmes puissances de t, on ne trouve qu'une seule fonction arbitraire de x, au lieu des deux fonctions a et b. On doit cette remarque à M. Poisson, qui l'a donnée dans le tome VI des Mémoires de F Ecole polytechnique , pag. 110.

5i6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

Réciproquement, si dans la série exprimée par l'équation (T) on développe la fonction c selon les puissances de x, en ordonnant le résultat par rapport à ces mêmes puissances de x, les coefficients de ces puissances se trouvent formes de deux fonctions entièrement arbitraires de t ; ce que Ion peut aisément vérifier en faisant le calcul.

4oo.

La valeur de y , développée selon les puissances de t, ne doit en effet contenir qu'une fonction arbitraire ei>.r .• car l'équation différentielle (a) montre clairement que, si l'on connaissait en fonction de x la valeur de v, qui répond à * = o, les autres valeurs de cette fonction v, qui répondent aux valeurs subséquentes de t, seraient par cela même déterminées.

Il n'est pas moins évident que la fonction v, étant développée selon les puissances ascendantes de x, doit contenir deux fonctions entièrement arbitraires de la variable t. En

effet, l'équation différentielle j-p = -j-t montre que, si l'on

connaissait en fonction de t la valeur de v, qui répond à une valeur déterminée de x, on ne pourrait pas en conclure les valeurs de v qui répondent à toutes les autres valeurs de x. Il faudrait , de plus , que l'on donnât en fonction de t la valeur de v qui répond à une seconde valeur de x, par exemple à celle qui est infiniment voisin© de la première. Alors tous les autres états de la fonction v, c'est-à-dire ceux qui répondent à toutes les autres valeurs de x, seraient déterminés. L équation différentielle (a) appartient à une surface courbe , l'ordonnée verticale d'un point quelconque étant v, et les deux coordonnées horizontales étant x et t.