CHAPITRE IX. 5i

Il suit évidemment de cette équation (a) que la forme de la surface est déterminée, lorsqu'on donne la figure de la section verticale dans le plan qui passe par Taxe des x; et cela résulte aussi de la nature physique de la question : car il est manifeste que, l'état initial du prisme étant donné, tous les états subséquents sont déterminés. Mais on ne pourrait pas construire la surface, si elle était seulement assujettie à passer par une courbe tracée sur le premier plan vertical des t et des v. Il faudrait de plus connaître la courbe tracée sur un second plan vertical parallèle au premier, et que l'on peut supposer extrêmement voisin. Les mêmes remarques s'appliquent à toutes les équations aux différences partielles*, et l'on voit que Tordre de l'équation ne détermine point pour tous les cas le nombre des fonctions arbitraires.

4oi.

La série (T) de l'art. 399, qui dérive de l'équation

dv d' v

Ti ~~ 2~x% 1 {a)

peut être mise sous cette forme v=e .<px. On développera l'exponentielle selon les puissances de D, et l'on

écrira — au lieu de D1, en considérant i comme indice de dx

différentiation. On aura ainsi

v=9X + t7p9x+-^9x + z-ri7p- 9*-+- etc.

Suivant la même notation , la première partie de la série (X) (art. 399), qui ne contient que des puissances paires de x, sera exprimée sous cette forme : cos. (*K^"d) y t. On déve-

5i8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

Ioppera selon les puissances de x, et l'on écrira — , au lieu

de D*, en conside'rant * comme indice de différentiation. La seconde partie de la série (X) se déduit de la première, en intégrant par rapport à x, et changeant la fonction 9t en une autre fonction arbitraire tyt. On a donc

o>=cos. (x[/—D) + W,

Ges notations abrégées et connues dérivent des analogies qui subsistent entre les intégrales et les* puissances. Quant à l'usage que nous en faisons ici , il a pour objet d'exprimer les séries, et de les vérifier sans aucun développement. Il suffit de différentier sous les signes que cette notation em-

ploie. Par exemple, de l'équation <v=e fx, on déduit, en différentiant par rapport à t seulement,

ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l'équation différentielle (a). Pareillement, si l'on considère la première partie de la série (X), en écrivant

i;=cos. (#1/3d) «pf,

on aura, en différentiant deux /ois par rapport à x seulement,

^-,=D.cos. \x\/ — d) yt=Dv——- Donc cette valeur de v satisfait à l'équation différentielle (a).