CHAPITRE IX. 5i
On trouvera, de la même manière, que l'équation différentielle
dT' + dJ' = 0 (b)
donne pour l'expression de v, en série développée selon les puissances croissantes de y,
v=cos. (jD) fx.
Il faut développer par rapport à y, et écrire au lieu de D. En effet , on déduit de cette valeur de v,
La valeur sin. (/D)^ar satisfait aussi à l'équation différentielle : donc la valeur générale de v est
<v=cos. (yD)yx + 'W et W=sin. (yD)$x.
Si l'équation différentielle proposée est
dr~dï' + dj~' 1 (c)
et que l'on veuille exprimer v en série ordonnée selon les puissances de t, on désignera par D 9 la fonction
et l'équation étant ^? = Dv, on aura
dr
v = cos. (t\^-o)9 (x,y).
En effet, on en conclut
52o THÉORIE DE LA CHALEUR.
Il faut développer la valeur précédente de i> selon les puissances de t, écrire Çjp + jp^) t au lieu de D', et regarder ensuite * comme indice de différentiation.
La valeur suivante fdl cos. (£1/— D) $ {x, y) satisfait à la même condition : ainsi la valeur la plus générale de v est
v— cos. (t\S=D) <p (x, y) + W et \N=Jdt cos. (*l/^ï)) . $(#,7).
v est une fonction f (x, y, t) de trois variables. Si l'on fait f=o, on a/(#, J,o)=9(x,/);et, désignant ^ f} par/ (a;, j, f), on aura /' (x,y, o)=ty(x,y).
Si l'équation proposée est
d * v dT* ^
la valeur de v en série ordonnée selon les puissances de t
sera i> = cos. (fD')<p( x, y), eu désignant^ par D : car on en déduit
La valeur générale de v, qui ne peut contenir que deux fonctions arbitraires de x et y, est donc
u = cos. (*D*) .9 (x, y) 4-W
et W=Jdtcos. (tD1) .)(x,y).
Désignant v par f{xt y, t), et ^ par/' (x, j, f), on a, pour déterminer les deux fonctions arbitraires ,
9{x,y) =7(^7,0), et ^{x,y)=/'(x,y,o).
