D'7,, OU

La valeur la plus générale de v ne pouvant contenir que deux fonctions arbitraires en x et y, ce qui est une conséquence évidente de la forme de l'équation, cette valeur o> sera ainsi exprimée :

oi= cos. (fD)<p(x,y) + jdt cos. (fD)|

Les fonctions 9 et <J» sont déterminées comme il suit, en désignant la fonction 1; par f(x,y, f), et f) par

Enfin, soit l'équation différentielle proposée.

dv d*v jd*v d'v jd*v

dï=«dT- + bdT> + cdl? + dd*-' + etc' (/)

les coefficients a, b, c, d sont des nombres connus, et l'ordre de l'équation est indéfini.

5aa THÉORIE DE LA. CHALEUR.

La valeur la plus générale de v ne peut pas contenir plus d'une fonction arbitraire en x : car il est évident, par la forme même de l'équation, que si l'on connaissait en fonction de x la valeur de v qui répond àf=o, toutes les autres valeurs de v, qui répondent aux valeurs successives de t, seraient déterminées. On aura donc, pour exprimer v,

I équation v=e . y x.

On désigne par D? l'expression

c'est-à-dire que , pour former la valeur de v, il faudrait développer, selon les puissances de t, la quantité

t (a x% ca' + d** -+- etc. ) ,

et écrire ensuite ^ au lieu de e, en considérant les exposants de a comme des indices de diflérentiation. En effet, cette valeur de v étant différentiée par rapport à t seulement, on a

dv tD IA d*v j d* v d* v

77 = De 9x = Dv = adx* + bdlï+cd^ + etc>

II serait inutile de multiplier ces applications d'un même procédé. Pour les équations très-simples, on peut se dispenser des expressions abrégées; mais, en général, elles suppléent à des calculs très-composés. Nous avons choisi pour exemple les équations précédentes , parce qu'elles se rapportent toutes à des phénomènes physiques dont l'expression analytique est analogue à celle du mouvement de la chaleur. Les deux premières, (a) et (£), appartiennent à la théorie de la chaleur; et les trois suivantes, (r), (ef), (e), à des questions dynamiques; la dernière, (/"), exprime ce que serait