CHAPITRE IX. 5a

le mouvement de la chaleur dans les corps solides, si la transmission instantanée n était pas bornée à une distance extrêmement petite. On a un exemple de ce genre de question dans le mouvement de la chaleur lumineuse qui pénètre les milieux diaphanes.

On peut obtenir par divers moyens les intégrales de ces mêmes équations. Nous indiquerons en premier lieu celui qui résulte de l'usage du théorème énoncé dans l'art. 36 1, pag. 449» et que nous allons rappeler.

Si l'on considère l'expression

I da. tçaj dp COS. {px — /7a), ^

on voit qu'elle représente une fonction de x : car les deux intégrations définies par rapport à « et p font disparaître ces variables , et il reste une fonction de x. La nature de cette fonction dépendra évidemment de celle que l'on aura choisie pour 9*. On peut demander quelle doit être la fonction de 9 a , pour qu'après les deux intégrations définies on obtienne une fonction donnée/^. En général, la recherche des intégrales propres à exprimer divers phénomènes physiques, se réduit à des questions semblables à la précédente. Ces questions ont pour objet de déterminer les fonctions arbitraires sous les signes d'intégration définie , en sorte que »'e résultat de cette intégration soit une fonction donnée* H est facile de voir, par exemple, que l'intégrale générale de l'équation

dv d* v ,dKv d** , jà% v . pt/>

5a4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

serait connue si, dans l'expression précédente (a), on pouvait déterminer 90c, en sorte que le résultat de 1 équation fut une fonction donnée fx. En effet, on forme immédiatement une valeur particulière de v, ainsi exprimée,

— m* t v = e cos.px,

et l'on trouve cette condition :

m — ap% + bpA + cp% + etc.

On pourra donc prendre aussi

v—e cos. (p& —

en donnant à la constante « une valeur quelconque. On aura pareillement

Il est évident que cette valeur de v satisfait à 1 équation différentielle (/); elle n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières. De plus, supposant £=0, on doit trouver pour v une fonction arbitraire de x. Désignant cette fonction par f{x), on a

/*= f d.,.f dp cos. (px-p.).

Or il résulte de la forme de l'équation (/), que la valeur k plus générale de v ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en x. En effet, cette équation montre clairement que î»i Ton connaît en fonction de x la valeur de v pour une valeur donnée du temps t, toutes les autres valeurs dev qui correspondent aux autres valeurs du temps, sont nécessairement déterminées. U s'ensuit rigoureusement que