CHAPITRE IX

fonction quelconque yxr Or, l'équation (d) déduite des principes fondamentaux de la dynamique fait connaître que

la seconde fluxion de v, prise pour t, ou ^ , et la fluxion

du quatrième ordre , prise pour x, ou , sont deux fonctions de x et t qui ne diffèrent que par le signe. Nous n'entrons point ici dans la question spéciale rela; ive à la discontinuité des fonctions; nous n'avons en vue que l'expression analytique de l'intégrale. On peut supposer aussi, qu'après avoir déplacé arbitrairement les divers points de la lame, on leur imprime des vitesses initiales très-petites , et dans le plan vertical où les vibrationsdoivent s'accomplir. La vitesse initiale donnée à un point quelconque m placé à la distance x, a une valeur arbitraire. Elle est exprimée par une fonction quelconque tyx de la distance x.

Il est manifeste que si l'on donne, i° la figure initiale du système ou yx, a° les impulsions initiales ou la fonction tyx, tous les états sulwéquents du système sont déterminés. Ainsi la fonction v ou f(xt r), qui représente, après un temps quelconque r, la forme correspondante de la lame, contient deux fonctions arbitraires <?x et tyx.

Pour déterminer la fonction cherchée f(x, t), nous considérons que, dans l'équation

dF + d*—°i (d)

on peut donner au la valeur très-simple w=cos. (q't) cos.(qx), ou celle-ci :

w = cos. (y'r).cos. (qx — en désignant par q et « des quantités quelconques qui ne

5a8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

- contiennent ni x, ni t. On aura donc aussi

u= jd*F*.j^dq. cos. (q1 1) cos. (qx —

Fa étant une fonction quelconque, et quelles que soient les limites des intégrations. Cette valeur de v n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières.

II est nécessaire maintenant qu'en supposant t=o, la valeur de u soit celle que nous avons désignée par f{ x, o) ou fx. On aura donc

yx= Jd*Ytt j dq cos. (qx — q<x).

H faut déterminer la fonction F«, en sorte que, les deux intégrations étant achevées , le résultat soit la fonction arbitraire <px. Or le théorème exprimé par l'équation (B) fait connaître que les limites de chacune des intégrales étant

— - et h — , on a F a = - — o a. o o ' a* T

Donc la valeur de u est donnée par l'équation suivante :

i* = ~^y da<fx J dq cos. {q*t) cos. (qx — q a).

Si l'on intégrait par rapport à t cette valeur m, en y changeant «p en <|» , il est évident que l'intégrale désignée par W satisferait encore à l'équation différentielle proposée (</), et l'on aurait

W=±fd*)* fdq~m. (q't) cos. ?«)• Cette valeur W devient nulle lorsque f=o ; et si l'on prend