CHAPITRE IX. 5a

l'expression

~dt = fd* f d(l CQS* (?'0 cos-

on voit qu'en y faisant t=o elle devient égale à tyx. Il n'en est pas de même de l'expression ; elle devient nulle lorsque *=o, et u devient égal à fx lorsque t=o. Il suit de là que l'intégrale de l'équation (d) est

-f- ao •+- oo

D—^jdv. yctfdq cos.^'fcos. (qx — q<x) 4- W= u + W

— as —oo •4- oo -t- oo

et Vf=^JdaL^aJdq~ sin. cos. (^a;— ^«).

— oo — oo ^

En effet, i° cette valeur de v satisfait à l'équation différentielle (d).

2° Lorsqu'on fait t—o , elle devient égale à la fonction entièrement arbitraire yx.

3° Lorsqu'on fait t=o dans l'expression ^ , elle se réduit à une seconde fonction arbitraire tyx. Donc la valeur de v est l'intégrale complète de la proposée, et il ne peut y avoir une intégrale plus générale.

On peut réduire la valeur de u à une forme plus simple en achevant l'intégration par rapport à q. Cette réduction et celle d'autres expressions du même genre dépendent des deux résultats exprimés par les équations (i) et (a), qui seront démontrées dans l'article suivant.

-f- OO

Jrff cos. (f'O-co». = £ sin. Q*+ Ji)» (i)

53o THÉORIE DE LA CHALEUR.

J dq sin. (y'O.cos. {qz) = ^ sin. Q-x— ~) • ^ On en conclut

"=^î-^/rf«^sin 0*+^)- (*)

Désignant Par une autre indéterminée (x, on aura

Mettant, au lieu de sin. Qx -+- (a1) ,

sa valeur V^' sm* ^ + V^* cos- P'i

on aura

Nous avons prouvé dans un mémoire particulier, que ces intégrales (S) ou ($') de 1 équation (d) représentent d'une manière claire et complète le mouvement des diverses parties de la lame élastique infinie. Elles contiennent l'expression distincte du phénomène, et en font connaître facilement toutes les lois. C'est sous ce point de vue sur-tout que nous les avons proposées à l'attention des géomètres. Elles montrent comment les oscillations se propagent et s'établissent dans toute l'étendue de la lame , et comment l'effet du déplacement initial, qui est arbitraire et fortuit, s'altère de plus en plus en s'eloignant de l'origine, devient bientôt insensible, et ne laisse subsister que l'action des forces propres du système , qui sont celles de l'élasticité.

4oy.

Les résultats exprimés par les équations [ 1) et (a) dé-