CHAPITRE IX. 53r rivent des intégrales définies

Jdxcos.x\ et J*dx sin. x*;

/:- -fcdx cos.#% et h= jdx sin. a:' ;

— a» — oo

et regardons g et h comme des nombres connus. Il est évident que, dans les deux équations précédentes, on peut mettre y + b au lieu de x, en désignant par b une constante quelconque, et que les limites de l'intégrale seront les mêmes. Ainsi Ton a

. Jm g= jdy cos. (y' + 2 by + b*), h=- jdysm. (y+aby+b*))

r l co$.y\ cos. *by. cos. b' — cos-./'.sin.a by.&\n.b*\ ^ J y\ — sin./'. sin. aiy.cos. b* — sin./\cos.a bj-.sin.b' j*

Or il est facile de voir que toutes les intégrales qui contiennent le facteur sin. (zby) sont nulles, si les limites sont

— I et + l : car sin (2 W change de signe en même temps que j. On a donc

g= cos.b%J fycos.j1 . cos. zby — sin. b%jdy. sin.j1 .cos. ^-{a) L'équation en h donnera aussi

^ /*j | sin./* . cos. a by. cos. b*-\- coi.y* cos. a i/sin. £ * j ~J J I -f-cos.^'.sin. nby.cos. b* — sin.^.sin. ai; .sin.i' j *

et, omettant aussi les termes qui contiennent sin. 2 by, on aura

A=cos. b' ^ iy sin. y* cos. 2by+ sXn.b'Jdy co&.y* cos. a £j. ^

Les deux équations (a) et {b) donnent donc en g et h les deux intégrales

Jdy. sin. y" . cos. 2 by et j dy cos. . cos. 2 by,

que nous désignerons respectivement par A et B. On fera ensuite

y^=p*tt et zby^pz, ou y=p\Z~t, b = ~. On a donc

1/7 . (dp cos./?' £. cos. pz = A, l/F= j*dp. sin. p* f.cos./?z=B

On déduit immédiatement les valeurs de ^ et A du résultat

connu K°

1/ -rc = jax.e

En effet, cette dernière équation est identique, et par conséquent ne cessera point de letre , lorsqu'on mettra au lieu

de x la quantité ^ Ç ' + .

cette substitution donne

Ainsi la partie réelle du second membre de la dernière équation est et la partie imaginaire est nulle. On en conclut

^ = pU (Jdy cos. y* + f dy&in.y^ , et 0 = f dy cos. y f dy sin. y* ,