CHAPITRE IX

ou Jdy cos.y*z=g=\/x-Tt, Jdysin. y'=:h = \/l~v.

II ne reste plus qu'à déterminer, au moyen des équations (a) et (£), les valeurs des deux intégrales

Ç iy cos. y* cos. a by, et fdy sxn.y* . sin . 2 by.

Elles seront ainsi exprimées :

A= J*dy cos. y1 .cos. a by = h sin. b1 -hg-cos.è',

B= y* dy sin. ^\ cos. a by = A cos. — #sin. &\ On en conclut :

j dp cos. pU cos. pz=£~r- (cos. (^) + sin. (^)

/ dp sin. PU cos. pz = £ ±* • (cos. (£) - sin. .

écrivant sin. Q*) » ou cos. Q*) » au Ken de y\ , on a fdpcos.(pU).cos.(pz)=£sin.(^+ , ^

et Jdp sin. (p't). cos. (pz)=^~ sin. Q — ^) - ^

La proposition exprimée par l'équation (B), page 5a5, ou par l'équation (E), page 449) e* T1' non* a servi à découvrir cette intégrale (S) et les précédentes, s'applique évidemment à un plus grand nombre de variables. En effet, dans l'équation générale

fx~^f rfa/or y^/> cos. — /?« ) ,

-f- oo »

OU /x = ~ j dp I da COS. (px — /?ac)/*a,

— a» — oo

on peut regarder fx comme une fonction de deux variables x et y. La fonction /% sera donc une fonction de a et y. On regardera maintenant cette fonction f{**y) comme une fonction de la variable y , et Ton conclura du même théorème ( B) , page 525 ,

=^ /«*«/(«! P) jàq cos. {qy— qp).

On aura donc, pour exprimer une fonction quelconque des deux variables x et y, l'équation suivante :

ao -f- ao -f- ao •+. as

/(^j) — (^:) Jd*.fd$f{*,ï)Jdpcos. (px—pa)fdq cos. (qy—qï, j

On formera de la même manière l'équation qui convient aux fonctions de trois variables, savoir :

J{*,y,z) = (±)\fd«fdt fdyf(*, 6, y)

I dp cos. {px—p%) jdq cos. {qy— q$) fdr cos. (rz — ry),

chacune des intégrales étant prise entre les limites — l-

et i- i-

Il est manifeste que la même proposition s étend aux fonctions qui comprennent un nombre quelconque de variables.

Il nous reste à montrer comment cette proposition s'applique à la recherche des intégrales, lorsque les équations contiennent plus de deux variables.