CHAPITRE IX

Par exemple, l'équation différentielle étant d'y d'v d^v

dr ~ dT* ~*~ d y* > (c)

on veut connaître la valeur de v en fonction de (x,y, t), et telle, i° qu'en supposant *=o), v ouf(x,y, t) devienne une fonction arbitraire 9 {oc, y) de x et y;

a° Qu'en faisant t=o dans la valeur de^j, ou f* (x,y, t),

on trouve une seconde fonction entièrement arbitraire (xyy).

Nous pouvons conclure de la forme de l'équation différentielle (c), que la valeur de v qui satisfera à cette équation et aux deux conditions précédentes , sera nécessairement l'intégrale générale. Pour découvrir cette intégrale, nous donnons d'abord à a; la valeur particulière

o>=cos. (mt) cos. (px ) cos. (qy).

La substitution de v fournit cette condition m = J/p^Tp.

Il n'est pas moins évident que l'on peut écrire :

1> = COS. (j>X— a) COS.^J— Ê) COS.f l^+f», ou v=JcU fd$¥ (a, P)

cos. (px—p*) fdq COS. cos. f l/^+y*,

quelles que soient les quantités p, q, «, p et F («, p), qui no contiennent ni .r, ni r, ni En effet, cette dernière valeur de v n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières.

53ii THÉORIE DE LA CHALEUR.

Si Ton suppose J = o, il est nécessaire que v devienne 9 (x>y)- On aura donc

= fd* y^PF(«iP) fdpcos. (px—pa) Jdq cos. (qy-q^

Ainsi la question est réduite à déterminer F(a,p), en sorte que le résultat des intégrations indiquées soit 9 (x,y). Or, en comparant la dernière équation à 1 équation (BB), on trouve

•4-ao -f- m 4-00 4-o>

— g» — o» — se

Donc l'intégrale sera ainsi exprimée :

^(l^jjdajd^ 9 (a, $)jdp cos. Qar— -p*)Jdq cos. {qy — ypJcos.tl/^+f

On obtient ainsi une première partie ude l'intégrale ; et, désignant par W la seconde partie, qui doit contenir l'autre fonction arbitraire {x>y), on aura

et I on prendra pour W l'intégrale J udt, en changeant seulement 9 en <J/. En effet, u devient égale à 9 (x,y), lorsqu'on fait £=0; et en même temps W devient nulle, puisque l'intégration, par rapport à t, change le cosinus en sinus.

De plus, si l'on prend la valeur de ~ , et que l'on fasse

f=o, la première partie, qui contient alors un sinus, devient nulle, et la seconde partie devient égale à ty(x,y). Ainsi l'équation v=u + Vf est l'intégrale complète delà proposée.

On formerait de la même manière l'intégrale de l'équation d*v d'v d*v d'v

T?—dl? + dp'i~~d?'