CHAPITRE IX. 537 Il suffirait d'introduire un nouveau facteur

-Lcos.(rz— ry),

et d'intégrer par rapport à r et y.

4io.

Soit 1 équation proposée j—; + -h ^— = o ; il s agit

d'exprimer i> en une fonction f{x,y, z), telle, i° que f{x>y>°) s°it une fonction arbitraire ? a° qu'en

faisant z=o dans la fonction j^f(x,y,z), on trouve une

seconde fonction arbitraire (x, y). Il suit évidemment de la forme de l'équation différentielle, que la fonction ainsi déterminée sera l'intégrale complète de la proposée. Pour connaître cette fonction, on remarquera d'abord que l'on

satisfait à l'équation en écrivant v=co&. px. cas. qy.em~ t les exposants p etq étant des nombres quelconques, et la valeur de m étant ± \/p%-\-q*.

On pourrait donc aussi écrire **=cos. (px-pa) cos. (qy-qï) (V ^ ^ + <T6 ,

ou 1/== fdx F («<,£) ^ dp Jdq,

cos.(px — p%) cos. {qy — q§) Çe~i'p*+'1' H- e~" v/'',","y,^.

Si l'on fait z=o, on aura, pour déterminer F(a,p), la condition suivante :

= jd* fdî F cos. {px—p«) cos. f p);

et, en comparant à l'équation (BB), on voit que

F(«ip)=c^y?(«i«-

On aura donc, pour l'expression d'une première partie de l'intégrale :

fdp cos. fpx—p*)fdqcos. {qy—qî) (^e2^^ + e~z^F%+iy

Cette valeur de u se réduit à ?{x,y) lorsque z=o, et la

même substitution rend nulle la valeur de ~

On pourrait aussi intégrer par rapport à z la valeur de u, et l'on donnerait à l'intégrale la forme suivante dans laquelle $ est une nouvelle fonction arbitraire :

jdpcos.{px—p*) J dq cos.{qy—q?) ^ + ^ 1

La valeur de W devient nulle lorsque 2=0, et la même substitution rend la fonction égale à (x,y). Donc l'intégrale générale de la proposée est v=u + W.

Enfin , soit l'équation

d'if d*v dsv dkv

~dTt + d~xi + dx'dy + dy~~° : (e) on veut connaître pour v une fonction f(x,y, t), qui satis-