CHAPITRE IX

niment voisins, l'un à gauche, l'autre à droite de celui où « — xest nul , c'est-à-dire depuis a = x — w jusqu'à *=x + » , en désignant par w une quantité infiniment petite. Or, dans cet intervalle, la fonction f* ne varie point, elle est égale à/*, et peut être mise hors du signe d'intégration. Doue la valeur de l'expression est le produit de / (x) par

sin. (/> a — x) a — a

prise entre les limites « — x— — w, et « — x=u.

Or cette intégrale est égale à comme on l'a vu dans l'article précédent ; donc l'intégrale définie est égale à vfx, d'où l'on conclut l'équation

-+-• / \ -fc » -f- OD

, /• 2. sin. [px — x) tp r

fx=zTk Jd*f* — — — = ™ Jd«f*Jdpcos. (Px-P*y (B

— 90 ce — co

La démonstration précédente suppose la notion des quantités infinies, telle qu'elle a toujours été admise par les géomètres. Il serait facile de présenter la même démonstration sous une autre forme, en examinant les changements qui résultent de l'accroissement continuel du facteur/? sous

le signe sin. (p « — x^ • Ces considérations sont trop connues

pour qu'il soit nécessaire de les rappeler.

Il faut sur -tout remarquer que la fonction fx, à laquelle cette démonstration s'applique, est entièrement arbitraire , et non assujettie à une loi continue. On pourrait donc concevoir qu'il s'agit d'une fonction telle, que l'ordonnée qui la représente n'a de valeurs, subsistantes que si l'abscisse x est comprise entre deux limites données, a et b; toutes les

55a THÉOUIE DE LA CHALEUR.

autres ordonnées seraient supposées nulles , en sorte que la courbe n'aurait de forme tracée qu'au-dessus de l'intervalle de x=a à x = 6, et se confondrait avec l'axe des a dans toutes les autres parties de son cours.

La même démonstration fait connaître que l'on ne considère point ici des valeurs infinies de x, mais des valeurs actuelles et déterminées.

On pourrait aussi examiner d'après les mêmes principes les cas où la fonction fx deviendrait infinie, pour des valeurs singulières de x comprises entre des limites données; mais cela ne se rapporte point à l'objet principal que nous avons en vue, qui est d'introduire dans les intégrales les fonctions arbitraires ; il est impossible qu'aucune question naturelle conduise à supposer que la fonction fx devient infinie, lorsqu'on donne à x une valeur singulière comprise entre des limites données.

En général , la fonction fx représente une suite de valeurs ou ordonnées dont chacune est arbitraire. L'abscisse x pouvant recevoir une infinité de valeurs, il y a un pareil nombre d'ordonnées fx. Toutes ont des valeurs numériques actuelles, ou positives, ou négatives, ou nulles. On ne suppose point que ces ordonnées soient assujetties à une loi commune; elles se succèdent d'une manière quelconque, et chacune d'elles est donnée comme le serait une seule quantité.

Il peut résulter de la nature même de la question, et de l'analyse qui s'y applique, que le passage dune ordonnée a la suivante doive s'opérer d'une manière continue. Mais il s'agit alors de conditions spéciales, et l'équation générale (B), considérée en elle-même, est indépendante de ces conditions. Elle s'applique rigoureusement aux fonctions discontinues.

CHAPITRE IX. 553 Supposons maintenant que la fonction f x coïncide avec

une certaine expression analytique, telle que sin. x7e~ , ou 9*r lorsqu'on donne à a? une valeur comprise entre deux limites a et b, et que toutes les valeurs de fx soient nulles lorsque x n'est pas comprise entre a et b ; les limites de l'intégration par rapport à a , dans l'équation précédente (B) seront donc a=b : car le résultat serait le même que pour les

limites a= — -, o=- , toutes les valeurs de a étant nulles

par hypothèse, lorsque a n'est point comprise entrer et b. On aura donc l'équation :

Le second membre de cette équation (B') est une fonction de la variable x : car les deux intégrations font disparaître les variables a et p , et il ne reste que x et les constantes a et b. Or cette fonction équivalente au second membre est telle , qu'en y substituant pour x une valeur quelconque comprise entre a et b, on trouve le même résultat qu'en substituant cette valeur de x dans <?x, et l'on trouve un résultat nul , si, dans le second membre , on met au lieu de x une valeur quelconque non comprise entre a et b. Si donc , en conservant toutes les autres quantités qui forment le second membre, on remplaçait les limites a et b par des limites plus voisines, a' et b', dont chacune est comprise entre a et b, on changerait la fonction de x qui équivaut au second membre, et l'effet du changement serait tel que ce second membre deviendrait nul toutes les fois que l'on donnerait à x une valeur non comprise entre a' et V ; et, si la valeur

de x était comprise entre a ' et V, on aurait le même résultat qu'en substituant cette valeur de x dans ?x.

On peut donc varier à volonté les limites de l'intégrale dans le second membre de l'équation (B'). Cette équation subsistera toujours pour les valeurs de x comprises entre les limites quelconques a et b, que l'on aura choisies; et, si l'on emploie toute autre valeur de le second membre sera nul. Représentons <px par l'ordonnée variable d'une courbe dont x est l'abscisse; le second membre, dont la valeur est fx, représentera l'ordonnée variable d'une seconde courbe dont la figure dépendra des limites a et b. Si ces limites sont

— £ et + - , les deux courbes, dont l'une a pour ordonnée

f et l'autre a pour ordonnée fx, coïncideront exactement dans toute l'étendue de leur cours. Mais, si Ton donne d'autres valeurs a et b à. ces limites , les deux courbes coïncideront exactement dans toute la partie de leur cours qui répond à l'intervalle de x=a à x=b. A droite et à gauche de cet intervalle, la seconde courbe se confondra précisément dans tous ses points avec l'axe des x. Cette conséquence est très-remarquable, et détermine le véritable sens de la proposition exprimée par l'équation (B).

Il faut considérer sous le même point de vue le théorème exprimé par l'équation (n) de l'art. a34, pag. a58. Cette équation sert à développer une fonction arbitraire fx en une suite de sinus et de cosinus d'arcs multiples. La fonction fx désigne une fonction entièrement arbitraire , c'est-à-dire une suite de valeurs données , assujetties ou non à une loi corn-