CHAPITRE IX

mune, et qui répondent à toutes les valeurs de or comprises entre o et une grandeur quelconque X.

La valeur de cette fonction est représentée par l'équation suivante :

/(*■) = £• ïfd«f«.cos.(^~«). (A)

L'intégrale, par rapport à *, doit être prise entre les limites a=a et <t=b; chacune de ces limites a et b est une quantité quelconque comprise entre o et X. Le signe 2 affecte le nombre entier *, et indique que l'on doit donner à i toutes ses valeurs négatives ou positives , savoir :

et prendre la somme des termes placés sous ce signe ]£• Le second membre devient, par ces intégrations, une fonction de la seule variable x et des constantes a et b. La proposition générale consiste en ce que i° la valeur du second membre, que l'on trouverait en y mettant au lieu de x une quantité comprise entre a et b, est égale à celle que l'on obtiendrait en mettant cette même quantité au lieu de x dans la fonction fx; a° toute autre valeur de x comprise entre o et X, mais non comprise entre a etb, étant substituée dans le second membre , donne un résultat nul.

Il n'y a ainsi aucune fonction fxy ou partie de fonction, que Ton ne puisse exprimer en une suite trigonométrique.

La valeur du second membre est périodique, et l'intervalle de la période est X, c'est-à-dire que cette valeur du second membre ne change point lorsqu'on écrit a; + X au lieu de x. Toutes ses valeurs successives se renouvellent à chaque intervalle X.

La suite trigonométrique égale au second membre est convergente i le sens de cette dernière proposition est que, si l'on donne à la variables une valeur quelconque, la somme des termes de la suite s approche de plus en plus, et infiniment près, d'une limite déterminée. C'est cette limite qui est o , si l'on a mis pour x une quantité comprise entre o ctX, mais non comprise entre a et b; et si cette quantité mise pour x est comprise entre a et b, la limite de la série a la même valeur que fx. Cette dernière fonction n'est assujettie à aucune condition , et la ligne dont elle représente l'ordonnée peut avoir une forme quelconque; par exemple, celle d'un contour formé d'une suite de lignes droites et de lignes courbes. On voit par là que les limites a et b, l'intervalle total X et la nature de la fonction étant arbitraires , cette proposition a un sens très - étendu ; et , comme elle n'exprime pas seulement une propriété analytique , mais qu'elle conduit facilement à la solution de plusieurs questions naturelles importantes, il était nécessaire de la considérer sous divers points de vue, et d'en indiquer les principales applications. On a donné plusieurs démonstrations de' ce théorème dans le cours de cet ouvrage. Celle que nous rapporterons dans un des articles suivants ( art. 424) a l'avantage de s'appliquer aussi à des fonctions non périodiques.

Si l'on suppose l'intervalle X infini, les termes de la série deviennent des quantités différentielles ; la somme indiquée par le signe 2 devient une intégrale définie , comme on le voit dans les art. 353 et 355, et l'équation (A) se transforme dans l'équation (B). Ainsi cette dernière équation (B) est contenue dans'la précédente, et convient au cas où Tinter-