CHAPITRE IX

valle X est infini : alors les limites a et b sont évidemment des constantes entièrement arbitraires.

4i9- * Le théorème exprimé par l'équation (B) offre aussi diverses applications analytiques, que nous ne pourrions exposer sans nous écarter de l'objet de cet ouvrage; mais nous énoncerons le principe dont ces applications dérivent. On voit que, dans le second membre de l'équation

fx = hjd*f*JdP cos (P*—P*)> (fi)

la fonction fx est tellement transformée , que le signe de fonction f n'affecte plus la variable x , mais une variable auxiliaire «. La variable x est seulement affectée du signe cosinus. Il suit de là que, pour différencier la fonction fx par rapport à .r, autant de fois que Ton voudra, il suffira de différencier le second membre par rapport à x sous le signe cosinus. On aura donc, en désignant par i un nombre entier quelconque,

-j^\fx — — j d%fa J dP P cos- (px—p*y

On écrit le signe supérieur lorsque 1 est pair, et le signe inférieur lorsque i est impair. On aura en suivant cette même règle relative au choix du signe:

dx*i+x S*=*-ZiJd*f* JdPP s,n- (Px—P*>

On peut aussi intégrer plusieurs fois de suite , par rapport à x, le second membre de l'équation (B); il suffit de-

crire au-devant du signe sinus ou cosinus une puissance négative de p.

La même remarque s'applique aux différenciations finies, ou aux intégrales désignées par le signe 2 1 et en général aux opérations analytiques qui peuvent s'effectuer sur les quantités trigonométriques. Le caractère principal du théorème dont il s'agit , est de transporter le signe général de fonction à une variable auxiliaire , et de placer la variable x sous le signe trigonométrique. La fonction fx acquiert en quelque sorte, par cette transformation, toutes les propriétés des quantités trigonométriques; les différentiacions, les intégrations et la sommation des suites s'appliquent ainsi à des fonctions générales de la même manière qu'aux fonctions trigonométriques exponentielles. C'est pour cela que l'emploi de cette proposition donne immédiatement les intégrales des équations à différences partielles à coefficients constants. En effet , il est évident que l'on peut satisfaire à ces équations par des valeurs particulières exponentielles; et, comme les théorèmes dont nous parlons donnent à des fonctions générales et arbitraires le caractère des quantités exponentielles, ils conduisent facilement à l'expression des intégrales complètes. Cette même transformation donne aussi , comme on l'a vu dans l'art. 4*3 , un moyen facile de sommer les suites infinies, losque ces suites contiennent les différentielles successives, ou les intégrales successives d'une même fonction : car la sommation de la suite est réduite , par ce procédé , à celle d'une suite de termes algébriques.

On peut aussi faire usage du théorème dont il s'agit pour

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CHAPITRE IX. 559 substituer sous le signe général de fonction un binôme formé d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Cette question d'analyse s'est présentée dès l'origine du calcul des différences partielles ; et nous l'indiquerons ici parce qu'elle a un rapport plus direct avec notre objet principal.

Si dans la fonction fx on écrit jx-Hv.v/trr au lieu de x, le résultat sera formé de deux parties ? -+- \/~x^. Il s'agit de connaître en |* et v chacune des deux fonctions 9 et f On y parviendra facilement si l'on remplace /.r par l'expression

fa fi fdP cos- {Px—P*) :

car la question sera réduite à substituer ^ + >,.\/zrt au lieu de x sous le signe cosinus, et à calculer le terme réel et le coefficient de l/^i. On aura ainsi

+ v . fa fi f ip cos. (p—( x +pv . v/-) = l- fa/a fdp [cos. (pt-p«) (/' + e-P')

-\^.sm.{p^-p^(y"-c-P^ .

doue 9=l-faf« fdp cos. (pp—p*) (V"-*- e~py,\

♦~=î fa fi fa™- (Pï-P*) (f-e-?') .

Ainsi toutes les fonctions fx que l'on peut concevoir, même celles qui ne sont assujetties à aucune loi de continuité, sont réduites à la forme M + N U<T7 , lorsqu'on y remplace' la variable x par le binôme ji-f-v.l/CT;.

4ai.

Pour donner un exemple de l'usage de ces dernières for-

56o THÉORIE DE LA CHALEUR,

mules, nous considérerons lequation + T" se rapporte au mouvement uniforme de la chaleur dans une table rectangulaire. L'intégrale générale de cette équation contient évidemment deux fonctions arbitraires. Supposons donc que l'on connaisse en fonction de x la valeur de v lorsque /=o, et que l'on connaisse aussi , par une autre fonction

de x, la valeur de ~ lorsque 7=0, on peut déduire l'intégrale cherchée de celle de l'équation

d% v dl v

dr dx

qui est connue depuis long-temps; mais on trouve des quantités imaginaires sous le signe de fonction. Cette'intégrale est

La seconde partie W de l'intégrale dérive de la première en intégrant par rapport àj, et changeant 9 en Il reste donc à transformer les quantités y (x -\-yV~i) et ? {x — y\/~u afin de séparer les parties réelles des parties imaginaires. Suivant le procédé de l'article précédent, on trouve, pour la première partie u de l'intégrale ,

-f- ao ■+■ a»

u=~jda/x jdp cos. (px—pa) ^/r + e"^j,

et par conséquent

wwl fd*F* fte cos. {px—p*) (ys-e-pjr}

L'intégrale complète de la proposée exprimée en termes réels est donc v=u -+- W; et l'on reconnaît, en effet, i° qu'elle

CHAPITRE IX. 56i satisfait à l'équation différentielle ; a° qu'en y faisant 7=0,

elle donne v—fx; 3° qu'en faisant y=o dans la fonction ^ , le résultat est Far.

4aa.

Nous ferons aussi remarquer que l'on peut déduire de l'équation (B) une expression très-simple du coefficient différentiel de l'ordre indéfini j^fx, ou de l'intégraleyrfx' ./x.

L'expression cherchée est une certaine fonction de x et de l'indice i. II s'agit de connaître cette fonction sous une forme telle, que le nombre 1 n'y entre point comme indice, mais comme une quantité , afin de comprendre , dans une même formule , tous les cas où l'on attribue à * des valeurs positives ou négatives quelconques. Pour y parvenir , nous

remarquerons que l'expression cos. (r + *^) »

ou cos. t.cos.^y) — 8m- r*8"1'("7) »

devient successivement

— sin.r, — cos.r, + sin.r, + cos.r, — sin.r, etc.,

si les valeurs respectives de i sont 1, a, 3, 4i 5, etc Les

mêmes résultats reviennent dans le même ordre, lorsqu'on augmente la valeur de 1. Il faut maintenant, danff le second membre de l'équation

fx=-^ Jda/a jdp cos. (px— /?«),

écrire le facteur pl au-devant du signe cosinus, et ajouter

56a THÉORIE DE LA CHALEUR,

sous ce signe le terme + — • On aura ainsi

^1 -4-0» -Ho»

T-/*=r» fi* A fip-R cos- (px~p* + £t)-

Le nombre i, qui entre dans le second membre, sera regardé comme une quantité' quelconque positive ou négative. Nous n'insisterons point sur ces applications à l'analyse générale; il nous suffit d'avoir montré par divers exemples l'usage de nos théorèmes. Les équations du quatrième ordre (r£), art. 4o5, et (e), art. 4iii appartiennent, comme nous l'avons dit, à des questions dynamiques. On ne connaissait point encore les intégrales de ces équations lorsque nous les avons données dans un Mémoire sur les vibrations des surfaces élastiques, lu à la séance de l'Académie des Sciences, le 6 juin 1816 (art. VI, § io et u, et art. VII, g i3 et 14). Elles consistaient dans les deux formules $ et art. 4<>6\ et dans les deux intégrales exprimées, Tune par la première équation de l'art. 4 12, l'autre par la dernière équation du même article. On a donné ensuite diverses autres démonstrations de ces mêmes résultats. Ce Mémoire contenait aussi l'intégrale de l'équation (e) , art. 409 , sous la forme rapportée dans cet article. Quant à l'intégrale (BB; de l'équation (b), art. 4i3, elle est ici publiée pour la première fois.

Les propositions exprimées par les équations (A) et (8'), art. 4i8 et 4I7i dont nous avons montré diverses applications , peuvent être considérées sous un point de vue plus général. La construction indiquée dans les art. 4(5 et 4 16

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ne s'applique pas seulement à la fonction trigonoraétrique

sin. Çpx — .r) "

^ <- ; elle convient a toutes les autres fonctions, et