OC X

suppose seulement que le nombre p devenant infini , on trouve la valeur de l'intégrale par rapport à «, en prenant cette intégrale entre des limites extrêmement voisines. Or cette condition n'appartient pas seulement aux fonctions trigono métriques, elle s'applique à une infinité d'autres fonctions. On parvient ainsi à exprimer une fonction arbitraire /a? sous diverses formes très-remarquables ; mais nous ne faisons point usage de ces transformations dans la recherche spéciale qui nous occupe.

Quant à la proposition exprimée par l'équation (A) (art. 4 18), il est également facile d'en rendre la vérité sensible par des constructions, et c'est pour ce théorème que nous les avons d'abord employées. Il suffira d'indiquer la marche de la démonstration.

Dans l'équation (A), savoir:

/*=?;/*•/« Xe" (**• t • *~x) •

on remplacera la somme des termes placés sous le signe 2 par sa valeur, qui se déduit de théorèmes connus. Nous avons vu précédemment divers exemples de ce calcul, Section III , Chap. III. Il donne ce résultat en supposant , pour rendre l'expression plus simple, a *=X, et désignant « — x par r.

2 cos. (//•) = cos. (Jr) + sin. (Jr) A^^y

*W Digfl

Il faut donc multiplier le second membre de cette équation par d*f*, supposer le nombre j infini, et intégrer depuis a= — ic jusqu'à «= + x. La ligne courbe, dont l'abscisse est a et l'ordonnée cos.yr, étaut conjuguée avec la ligne dont l'abscisse est « et l'ordonnée /«, c'est-à-dire les ordonnées correspondantes étant multipliées l'une par l'autre, il est manifeste que l'aire de la courbe produite, prise entre des limites quelconques, devient nulle lorsque le nombrey croit sans limite. Ainsi le premier terme cos.yr donne un résultat nul.

Il en serait de même du terme sin./r, s'il n'était pas multiplié par le facteur sinS'"erg r >* mais en comparant les trois courbes qui ont pour abscisse commune «, et pour ordonnées sin.r, . "n,r , /«, on reconnaît évidemment quel'in-

' sin. vers, r 1 J *

tégrale / du . fa . sin. (jr) . smr n'a de valeurs subsi- ° J J w / gin. ver*, r

stantes que pour de certains intervalles infiniment petits;

savoir, lorsque l'ordonnée . 8>n' r devient infinie. Cela aura 7 * sin. vers, r

lieu si r ou a — x est nulle; et dans cet intervalle où « diffère infiniment peu de x, la valeur de /a se confond avec fx. Donc l'intégrale devient

nfx.jdr. sin. Or)'Tp ou ^/xJt sin*

qui est égale à zx.fx (art. 4i5 et 356). On en conclut l'équation précédente (A).

Lorsque la variable x est précisément égale à — * ou