CHAPITRE IX

~f-ic,-la construction fait connaître quelle est la valeur du second membre de cette équation A.

Si y les limites de l'intégration ne sont pas — * et -4-*, mais d'autres nombres a et b, dont chacun est compris entre — ir et + if, on voit par la même figure quelles sont les valeurs de x, pour lesquelles le second membre de 1 équation (A) est nul.

Si l'on conçoit qu'entre les limites de l'intégration certaines valeurs de a deviennent infinies , la construction indique dans quel sens la proposition générale doit être entendue. Mais nous ne considérons point ici les cas de cette nature, parce qu'ils n'appartiennent point aux questions physiques.

Si, au lieu de restreindre les limites — « et + x, on donne plus d'étendue à l'intégrale, en choisissant des limites plus distantes a' et b\ on connaît par la même figure que le second membre de l'équation (A) est formé de plusieurs termes, et donne le résultat d'une intégration finie, quelle que soit la fonction /x.

On trouve des résultats semblables si 1 on écrit ^- s — x

au lieu de r, et si les limites de l'intégration sont — X et

Il faut considérer maintenant que les conséquences auxquelles on est parvenu auraient encore lieu pour une infinité de fonctions différentes de sin. (j r). Il suffit que ces fonctions reçoivent des valeurs alternativement positives et négatives , en sorte que l'aire devienne nulle, lorsque y croît sans

limite. On peut faire varier aussi le facteur . 9l"'r , ainsi

* si n.» ers. /■

que les limites de l'intégration, et Ton peut supposer que l'intervalle devient infini. Ces sortes d'expressions sont donc très-générales , et susceptibles des formes les plus diverses. Nous ne pouvons nous arrêter à ces développements; mais il était nécessaire de montrer l'emploi ;des constructions: car elles résolvent sans aucun doute les questions qui peuvent s'élever sur les valeurs extrêmes et sur les valeurs singulières; elles n'auraient pu servir à découvrir ces théorèmes, mais elles les démontrent et en dirigent toutes les applications.

Nous avons encore à faire envisager ces mêmes propositions sous un autre point de vue. Si l'on compare entre elles les solutions relatives au mouvement varié de la chaleur dans l'armille , la sphère , le prisme rectangulaire , le cylindre, on voit que nous avions à développer une fonction arbitraire fx en une suite de termes, tels que

?(|*.*) + a+l(p**) + H-,. etc.

La fonction 9 , qui , dans le second membre de l'équation (A), est un cosinus ou un sinus, est remplacée ici par une fonction qui peut être très-différente du sinus. Les nombres ji , etc. , au lieu d'être des nombres entiers, sont donnes

par une équation transcendante , dont les racines en nombre infini sont toutes réelles. La question consistait à trouver les valeurs des coefficients a%> a%> a^, etc. . . a.; on yest

parvenu au moyen (Jes intégrations définies qui font disparaître toutes les inconnues, excepté une seule. Nous allons examiner spécialement la nature de ce procédé, et les conséquences exactes qui en dérivent.

Il faut dans le second membre donner à i toutes ses valeurs, c'est-à-dire, mettre successivement, au lieu de ^ toutes les racines (a de l'équation (/). L'intégrale doit être prise pour a, depuis a=o jusqu'à <x=X, ce qui fait disparaître l'indéterminée a. Il en est de même de p, qui entre dans le dénominateur; en sorte que le terme sin.fa.x) est multiplié par un

coefficient ai , dont la valeur ne dépend que de X et de

l'indice *. Le signe 2 indique qu'après avoir donné à i ses différentes valeurs, il faut écrire la somme de tous les termes.

L'intégration offre donc un moyen très- simple de déterminer immédiatement les coefficients ; mais il faut examiner attentivement l'origine de ce procédé, ce qui donne lieu aux deux remarques suivantes :

i° Si dans l'équation (e) on avait omis d'écrire une partie des termes, par exemple, tous ceux où l'indice est un nombre pair, on trouverait encore, en multipliant l'équation par dx sin. (j*^) , et intégrant depuis x=o jusqu'à

x=X, cette même valeur de a ., qui a été déterminée «précédemment, et l'on formerait ainsi une équation qui ne serait point vraie; car elle ne contiendrait qu'une partie des termes de l'équation générale, savoir, ceux dont l'indice est impair.

2° L'équation complète (e), que l'on obtient, après avoir déterminé les coefficients, et qui ne diffère point de l'équation rapportée page 35o, art. 291, dans laquelle on ferait t=o et v=Fx, est telle que si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre o et X, les deux membres sont nécessairement égaux ; mais on ne peut point conclure,

37o THEORIE DE LA CHALEUR.

comme nous l'avons fait observer, que cette égalité ait lieu, si, choisissant pour le premier membre xFx une fonction assujettie à une loi continue , telle que sin. x ou cos. x, on donnait à x une valeur non comprise entre o et x. En général, l'équation résultante (e) doit être appliquée aux valeurs de x, comprises entre o et X. Or le procédé qui détermine le coefficient a . ne fait point connaître pourquoi toutes les

racines jx . doivent entrer dans l'équation (e), et pourquoi

cette équation se rapporte uniquement aux valeurs de x, comprises entre o et X.

Pour résoudre clairement ces questions , il suffit de remonter aux principes qui servent de fondement à notre analyse.

Nous divisons l'intervalle X en un nombre infini n de parties égales à dx, en sorte que l'on a ndx=X,et écrivant fx au lieu de xFx, nous désignons par fx , f% ,y, . . . f.. . ./ y

les valeurs de fx, qui répondent aux valeurs dx, ndx, 3d*, . . . idx. . .ndx, attribuées à x; nous composons l'équation générale (e) d'un nombre n de termes ; en sorte qu'il y entre n coefficients inconnus, an a„ a}. . .a.. . . an.

Cela posé, cette équation [e] représente les n équations du premier degré, que l'on formerait en y mettant successivement, au lieu de x , ses n valeurs dx, zdx, 3dx. . . ndx. Ce système de n équations contient dans la première ft, dans la seconde./] , dans la troisième /j, dans la nwe/r. Pour

déterminer le premier coefficient a, , on multiplie la première équation par a,, la seconde par g,, la troisième par o,, ainsi de suite , et Ton ajoute ensemble les équations ainsi multipliées. Les facteurs <r,, c,, «3. . . c„, doivent être déterminés par cette

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