CHAPITRE IX. 57i

condition , que la somme de tous les termes des seconds membres qui contiennent <z,, soit nulle, et qu'il en soit de même pour tous les coefficients suivants , as , a . . . an. Donc toutes

les équations étant ajoutées , le coefficient a , entre seul dans le résultat, et Ton a une équation pour déterminer ce coefficient. Ensuite on multiplie de nouveau toutes les équations par d'autres facteurs respectifs p,, p,, p,. . . pw, et ces facteurs

sont déterminés en sorte qu'en ajoutant les n équations, tous les coefficients soient éliminés , excepté <z,. On a donc une équation pour déterminer a%. On continue des opérations semblables, et choisissant toujours de nouveaux facteurs, on détermine successivement tous les ct>ëfficients inconnus. Or il est manifeste que ce procédé d'élimination est précisément celui qui résulte de l'intégration entre les limites o et X. La série a,, «, , gj , an des premiers facteurs est dxsin. (p., dx)...

dx sin. ((i, adx).. .dx sin. (^Sdx). . . dx sin. (p.ndx). En général , la série des facteurs qui servent à éliminer tous les coefficients, excepté est dx si n.fadx).. .dxsin. (^tadx). . .

dx sin. (y.jSdx). . . dx sin. (^ndx) ; elle est représentée par le terme général dxs\\\. dans lequel on donne succes-

sivement à x toutes les valeurs

dx idx 3dx. . . ndx.

On voit par là que le procédé qui nous sert à déterminer les coefficients, ne diffère en rien du calcul ordinaire de l'élimination dans les équations du premier degré. Le nombre n des équations est égal à celui des quantités inconnues a, , <z, , <2î . . . an , et le même que le nombre des quantités données /,,/,, fi. . ./„. Les valeurs trouvées pour les coëffi-

57a THÉORIE DE LA CHALEUR.

cients sont celles qui doivent avoir lieu pour que les n équations subsistent à la fois, c'est-à-dire , pour que l'équation (t) subsiste lorsqu'on donne à x une de ces n valeurs comprises entre o et X ; et comme le nombre n est infini , il s'ensuit que le premier membre fx coïncide nécessairement avec le second, lorsque la valeur x, substituée dans l'un et l'autre, est comprise entre o et X.

La démonstration précédente ne s'applique pas seulement aux développemens dont la forme est

a, sin. (p,x) + a, sin. fa x) -f- sin. fax). . . -f- ^.sin.^x), elle convient à toutes, les fonctions 9 fax) que Ton pourrait

substituer à sin. (ji,-*), en conservant la condition principale,

savoir, que l'intégrale jdx 9 (^x) 9 x) , ait une valeur

nulle lorsque * et y sont des nombres différents. Si l'on propose de développer fx sous cette forme:

fx=a . fl.CM-J! , a.cos.a* a, co&. (ix)

J è.sin.x ~*~ b* sin. a* ' * '6. sin. + etC*

Les racines jx, jx,. . . ^. . . etc., seront des nombres entiers, et la condition

Jdxcos. (a««'|)sin. (air/f) =0

ayant toujours Keu lorsque les indices i et j sont des nombres différents, on obtient, en déterminant les coefficients biy l'équation générale (H), page a58, qui ne diftèrepas de l'équation (A), page 555.