CHAPITRE IX

Si Ton omettait dans le second membre de l'équation (e) un ou plusieurs des termes qui répondent à une ou plusieurs racines ^ de l'équation (/), l'équation (e) ne serait pas vraie en général. Pour s'en convaincre, supposons qu'un terme contenant ^ et a- ne soit point écrit dans le second membre

de lequation (e), on pourrait multiplier respectivement les n équations par les facteurs

<£r sin. (|y&c),<&rsin. a sin. ^dx.... dx sin. dyu&r) ;

et en les ajoutant , la somme de tous les termes des seconds membres serait nulle , en sorte qu'il ne resterait aucun des coefficients inconnus. Le résultat, formé de la somme des premiers membres, c'est-à-dire la somme des valeurs ^ A fi • • • fn > multipliées respectivement par les facteurs

dx sin. {\t.jdx) , dx sin. (^ a«tr) , dxùiL (#j$dx).... dxs\\\.(y.jndx),

se réduirait à zéro. Il faudrait par conséquent que cette relation existât entre les quantités données et

©n ne pourrait point les considérer comme entièrement arbitraires, ce qui est contre l'hypothèse. Si ces quantités f* f»f*fn'" ^es va^eurs quelconques, la relation dont il s'agit ne subsiste point, et l'on ne pourrait pas satisfaire aux conditions proposées, en omettant un ou plusieurs termes, tek que a- 6in. x) dans l'équation (e). Donc la fonc-

tion fx demeurant indéterminée, c'est-à-dire, représentant le système d'un nombre in6ni de constantes arbitraires qui

correspondent à des valeurs de x comprises entre o et X , il est nécessaire d'introduire dans le second membre de 1 équation (e) tous les termes, tels que a sin. (ax), qui satisfont à la condition

jdx(mi. (n^-sin. =°i

les indices i et j étant différents ; mais s'il arrivait que la fonction fx fût telle que les n grandeurs fff--fn eussent entre elles cette relation exprimée par l'équation

Jdx Ç&in.(y.jX) ./») = o,

il est évident que le terme a . sin. U a?) pourrait être omis

dans l'équation (e).

Ainsi, il y a plusieurs classes de fonctions fx dont le développement, représenté par le second membre de l'équation (e), ne contient pas certains termes correspondants à quelques-unes des racines p. Il y a, par exemple, des cas où l'on doit omettre tous les termes dont l'indice est pair; et nous en avons vu divers exemples dans le cours de cet ouvrage. Mais cela ne peut avoir lieu, si la fonction fx a toute la généralité possible. Dans tous les cas, on doit supposer le second membre de l'équation (e) complet, et le calcul fait connaître les termes qui peuvent être omis, parce que leurs valeurs deviennent nulles.

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