CHAPITRE IX

On voit clairement, par cet examen, que la fonction fx représente, dans notre analyse, le système d'un nombre n de quantités séparées, correspondantes aux n valeurs de x comprises entre o et X, ej que ces n quantités ont des valeurs actuelles, et par conséquent non infinies, choisies à volonté. Toutes pourraient être nulles, excepté une seule dont la valeur serait donnée.

Il pourrait arriver que la série de ces n valeurs/ / f3 ... / fût exprimée par une fonction assujettie à une loi continue, telle que x ou x\ sin. x, cos. x, ou en général yx; alors la ligne ococurbe,dont les ordonnées représentent les valeurs correspondantes aux abcisses x, et qui est placée au-dessus de l'intervalle de x=o à x = X, se confond dans cet intervalle avec la courbe dont l'ordonnée est 9 x, et les coefficients a, a% a>. . . an de l'équation (e), déterminés par la règle précédente, satisfont toujours à cette condition , qu'une valeur de x comprise" entre o et X, donne le même résultat étant substituée dans <?x, et dans le second membre de l'équation (e).

Fx représente la température initiale de la couche sphérique dont le rayon est x. On pourrait supposer, par exemple, Fx=bx, c'est-à-dire, que la chaleur initiale croît proportionnellement à la distance, depuis le centre, où elle est nulle, jusqu'à la surface, où elle est bX. Dans ce cas, xFx ûuf(x) est égale à bx% ; en appliquant à cette fonction la règle qui détermine les coefficients, on développerait bx* en une suite de termes, tels que

a, sin. (ji. x) + a, sin. ( ^ x) + a, sin. (p, x) ... 4- an sin. ( ^ x).

Or chaque terme sin. (v-jX), étant développe' selon les puissances de x, ne contient que des puissances de rang impair, et la fonction bx1 est une puissance de rang pair. Il est très - remarquable que cette fonction bx\ désignant une suite de valeurs données pour l'intervalle de o à X, puisse être développée en une suite de termes , tels que

a . sin. (y-jX).

Nous avons déjà prouvé l'exactitude rigoureuse de ces résultats, qui ne s'étaient point encore présentés dans l'analyse, et nous avons montré le véritable sens des propositions qui les expriment. On a vu, par exemple, dans l'article a23, page a38, que la fonction cos. x est développée en une suite de sinus d'arcs multiples , en sorte que dans 1 équation qui donne ce développement, le premier membre ne contient que des puissances paires de la variable, et le second ne contient que des puissances impaires. Réciproquement la fonction sin. x, où il n'entre que des fonctions impaires, est résolue, page a4a, en une suite de cosinus qui ne contiennent que les puissances paires.

Dans la question actuelle relative à la sphère, la valeur de xFx est développée au moyen de l'équation (e). Il faut ensuite, comme on le voit art. 290, page 348, écrire dans chaque terme le facteur exponentiel, qui contient r, et Ion a, pour exprimer la température v, qui est une fonction de x et t, l'équation

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