K / 2 COS. Y
- *=arc tang. / — ^ .
SECTION VI
Développement d'une fonction arbitraire en séries trigonométrie ues.
Art. 207, 208, 209, 210, 211, 212, 2i3, 214.
210. On obtient ce développement en déterminant les valeurs des coefficients inconnus dans les équations suivantes dont le nombre est infini,
A=a-f- 2 3-|-3 c-f-4 d + etc.
B=a + a,iT3ïc + 4V -h etc.
C=a4-25£-r-35c-r-45rf+ etc.
D=« + a-4 + 3?r+4^+ etc.
etc. etc.
DES MATIÈRES. 617
Pour résoudre ces équations, on suppose d'abord que le nombre des équations est /«, et qu'il y a seulement un nombre 01 d'inconnues «, 6 y cy d, etc. en omettant tous les termes subséquents. On détermine les inconnues pour une certaine valeur du nombre m,. ensuite on augmente successivement cette valeur de m , et l'on cherebe la limite .dont s'approchent continuellement les valeurs des coefficients; ces limites sont les quantités qu'il s'agit de déterminer. — Expression des valeurs de a, 6, c, </, ey etc. lorsque m est infini.
A*t. ai5, 216.
iifL On développe sou* la forme
a sin. x~\-b sin. ji + c sin. 3x-f» sin. 4 x -f- etc.
la fraction ©x, que l'on suppose d'abord ne contenir que des puissances impaires de x.
A*t. ar^» xi8,
228* Expression différente de ce mâme développement Application à la fonction e — «
Ait. 213, aao , aa*.
a3i. La fonction quelconque çx peut être développée sous cette forme : a sin. x H- a, sin. ax-f-a, sin. 3x. . .-H<x sin. 1» -h etc.
La valeur du coefficient général a. est - ^* sfxçxsin.j'x. On
conclut ce théorème très-simple:
en
-=sin.x yVa®a.sin.a-t-sin. ax. Jdxfaùn.i*+iin.5x.Jdmf*$in.ia-+- etc.
ou — çx= sia.ix J a<n^xsin. ».
-|- ©x= 2i si».»* j*d*y x$in.
Gl8 TABLE
>• Art. aaa, aa3.
a37- Application de ce théorème; on en déduit celte série remarquable:
^cos.-r =-^sin.,r-T-^ Hsin.4x-r-= — sin.;*-! $in.Q.r-h etc.
Art. aa4, aa5, aa6.
a3o. Second théorème sur le développement des fonctions en séries trigonométriques :
^<J>* = cos. ix j" d*co*.i*ty
Applications ; on en conclut cette série remarquable :
