CHAPITRE I. 9t

les deux quantités de chaleur qui s'élèvent au-dessus de ces plans & et w' pendant le même instant pourraient n'être point égales; ces quantités sont comparables entre elles et leurs rapports sont des nombres que l'on peut facilement

déterminer. ^ !t,p ,:, tii-iur ,j «.b <n. ■■• .'if«-.j !

Nous connaissons déjà la valeur du flux constant pour le cas du mouvement linéaire et uniforme; ainsi dans un solide compris entre deux plans horizontaux infinis dont l'un est entretenu a la température a, et 1 autre a la température b, le flux de chaleur est le même pour chaque partie de la masse; on peut le considérer comme ayant lieu dans le sens vertical seulement. Sa valeur correspondante à l'unité de

surface et à l'unité de temps est K , e désignant la

distance perpendiculaire des deux plans, et K la conducibilité spécifique; les températures des différents points du

solide , sont exprimées par l'équation v — a — (~""7"~) 3*

Lorsqu'il s'agit d'un solide compris entre six plans rectangulaires paratfèles deux à deux , et lorsque les températures des différents points sont exprimées par l'équation linéaire v — A+ ax + by + cz, la propagation a lieu en même temps selon les trois directions des x, des y et des z; la quantité de chaleur qui s'écoule à travers une portion déterminée d'un plan parallèle p celui des x et y , est la même dans toute l'étendue du prisme; sa valeur correspondante à l'unité de surface et à l'unité de temps est — c K , dans le sens des z, elle est — b K, dans le sens des/, et — a K, dans celui des x.

la.

9z THÉORIE DE LA CHALEUR.

En général la valeur du flux vertical , dans les deux cas que l'on vient de citer , ne dépend que du coefficient de z et de la conducibilité spécifique K ; cette valeur est toujours

t i * v dv

égale a — K T-

L'expression de la quantité de chaleur qui , pendant l'instant d t, s écoule à travers un cercle horizontal infiniment petit, dont la surface est «, et passe ainsi de la partie du solide qui est inférieure au plan du cercle , dans la partie

supérieure, est, pour les deux cas dont il s'agit, i — u dt.

Il est aisé maintenant de généraliser ce résultat et de reconnaître qu'il a lieu quel que soit le mouvement varié de la chaleur exprimé par l'équation v = F (x,y, z, t).

En effet, désignons par x',y, z, les coordonnées du point m , et sa température actuelle par v. Soient x + "Ç, y -+- » , z les coordonnées d'un point p, infiniment voisin du point m et dont la température est w; Ç, m, Ç, sont des quantités infiniment petites ajoutées aux coordonnées jf,y, z; elles déterminent la position des molécules infiniment voisines du point m, par rapport à trois axes rectangulaires, dont l'origine est en m, et qui seraient parallèles aux axes des x, des y, et des z. En différentiant l'équation

v=f(x,y, 0* et remplaçant les différentielles par Ç, d, Ç, on aura , pour exprimer la valeur de tv, qui équivaut kv + dv, l'équation linéaire w = 1/ + ^ Z + ^ m + ^ Ç , les coefficients

, dv' dv' dv' , c .. 1 ,

V^ IF"' 1y'> ~dz> 8 fonctions de x, y, z, t, dans