CHAPITRE I

de l'ordonnée est la tangente de l'angle formé par l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses.

Le résultat que l'on vient d'exposer est celui dont on fait les applications les plus fréquentes dans la théorie de la chaleur. On ne peut en traiter les différentes questions sans se former une idée très-exacte de la valeur du flux en chaque point d'un corps dont les températures sont variables. Il est nécessaire d'insister sur cette notion fondamentale : l'exemple que nous allons rapporter indiquera plus clairement l'usage que l'on en fait dans le calcul.

ioo.

Supposons que les différents points d'une masse cubique dont le côté est 7 7r , aient actuellement des températures inégales représentées par l'équation i;=cos. x. cos. y. cos. z. Les coordonnées x, y, z, sont mesurées sur trois axes rectangulaires dont l'origine est au centre du cube, et qui sont perpendiculaires aux faces. Les points de la surface extérieure du solide ont actuellement la température o, et l'on suppose aussi que des causes extérieures conservent à tous ces points leur température actuelle o. D'après cette hypothèse, le corps se refroidira de plus en plus, tous les points situés dans l'intérieur de la masse auront des températures variables et , après un temps infini , ils acquerront tous la température o de la surface.

Or, nous démontrerons, par la suite, que l'état variable de ce solide est exprimé par l'équation

v=e~t' cos. x. cos. y. cos. z, le coefficient g est égal à ^ , K est la conducibilité spéci-

fique de la substance dont le solide est formé, D est la densité, et C la chaleur spécifique; t est Iè temps écoulé.

Nous supposons ici que l'on admet la vérité de cette équation, et nous allons examiner l'usage que l'on en doit faire pour trouver la quantité de chaleur qui traverse un plan donné parallèle à l'un des plans rectangulaire^.

Si, par le point m, dont les coordonnées sont x, y, z, on mène un plan perpendiculaire aux z, on trouvera, d'après l'article précédent, que la valeur du flux, en ce point et à

travers le plan, est — K ^j,ouK e~e' cos. x. cos.^. sin. z.

La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant dt, un rectangle infiniment petit, situé sur ce plan et qui a pour côtés d x et dy, est

Ke"^ cos. x. cos. j. sin. z. dx dy d t.

Ainsi la chaleur totale qui , pendant l'instant d t, traverse l'étendue entière du même plan , est

K e sin. z. dtf cos. x. cos. y dx dy;

la double intégrale étant prise depuis x = — ~ 77 , jusqu'à x = \ et depuis y = — ^ * , jusqu'à y = ~ On trouvera donc, pour l'expression de cette chaleur totale,

4 K e~ ** sin. z. dt.

Si l'on prend ensuite l'intégrale par rapport à t, depuis t— o jusqu'à t = t, on trouvera la quantité de chaleur qui a traversé le même plan depuis que le refroidissement a commencé , jusqu'au .moment actuel. Cette intégrale est

— sin. z (1 — elle a pour valeur à la surface