ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR
SECTION PREMIÈRE
uation du mouvement varié de la chaleur dans une
armille.
On pourrait former les équations générales qui représentent le mouvement de la chaleur dans les corps solides d'une figure quelconque, et les appliquer aux cas particuliers. Mais cette méthode entraîne quelquefois des calculs assez compliqués que l'on peut facilement éviter. Il y a plusieurs de ces questions qu'il est préférable de traiter d'une manière spéciale, en exprimant les conditions qui leur sont propres; nous allons suivre cette marche et examiner séparément les questions que l'on a énoncées dans la première section de l'introduction: nous nous bornerons d'abord à former les équations différentiel les, et nous en donnerons les intégrales dans les chapitres suivants.
On a déjà considéré le mouvement uniforme de la chaleur dans une barre prismatique d'une petite épaisseur et dont l'extrémité est plongée dans une source constante de chaleur. Ce premier cas ne présentait aucune difficulté , parce qu'il ne se rapporte qu'à l'état permanent des températures, et
ioo THÉORIE DE LA CHALEUR.
que 1 équation qui l'exprime s'intègre facilement. La question suivante exige un examen plus approfondi; elle a pour objet de déterminer l'état variable d'un anneau solide dont les différents points ont reçu des températures initiales entièrement arbitraires.
L'anneau solide ou armille est engendré par la révolution d'une section rectangulaire autour d'un axe perpendiculaire au plan de l'anneau (Voyez fig. 3). / est le périmètre de la section dont S est la surface, le coefficient h mesure la conductibilité extérieure, K la conducibilité propre, C la capacité spécifique de chaleur, D la densité. La ligne oxx'x" représente la circonférence moyenne de lar mille ou celle qui passe par les centres de figure de toutes les sections ; la distance d'une section à l'origine o, est mesurée par l'arc dont la longueur est x; R est le rayon de la circonférence moyenne.
On suppose qu'à raison des petites dimensions et de la forme de la section on puisse regarder comme égales, les températures des différents points d'une même section.
io3. .,
Concevons que l'on donne actuellement aux différentes tranches de l'armille, des températures initiales arbitraires, et que ce solide soit ensuite exposé à l'air qui conserve la température o, et qui est déplacé avec une vitesse constante; le système des températures variera continuellement , la chaleur se propagera dans l'anneau, et elle se dissipera par la surface : on demande quel sera l'état du solide daas un> instant donné. • ■ -i,.
Soit v la température que la section placée à la dis^nçe x
aura acquise après le temps écoulé t; v est une certaine
