CHAPITRE II. ioi

fonction de x et de t, dans laquelle doivent entrer aussi toutes les températures initiales ; c est cette fonction qu'il s'agit de découvrir..

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On considérera le mouvement de la chaleur dans une tranche infiniment petite, comprise entre une section placée à la distance x, et une autre section placée à la distance x+dx. L'état de cette tranche pendant la durée d'un instant est celui d'un solide infini que terminent deux plans parallèles retenus à des températures inégales ; ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule pendant cet instant dt à travers la première section, et passe ainsi de la partie du solide qui précède la tranche dans cette tranche elle-même, est mesurée d'après les principes établis dans l'introduction, par le produit de quatre facteurs, savoir, la conducibilité K, l'aire de la

section S, le rapport— ~ et la durée de l'instant; elle a pour expression — KS^dt. Pour connaître la quantité de chaleur

qui sort de la même tranche à travers la seconde section, et passe dans la partie contiguë du solide, il faut seulement changer xen x+dx dans l'expression précédente, ou ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa différentielle prise par rapport à x : ainsi la tranche reçoit par une de ses

faces une quantité de chaleur égale à — KS-^dt et perd

par la face opposée- une quantité de chaleur exprimée par

— KS^dt — KSj^dxdt. Elle acquiert donc à raison de

sa position une quantité de chaleur égale à la difierence'de

deux quantités précédeutes , qui est R S -y-h dxdt:

ioa THÉORIE DE LA CHALEUR.

D'un autre côté cette même tranche dont la surface extérieure e&tldx et dont la température diffère infiniment peu de v, laisse échapper dans l'air pendant l'instant dt une quantité de chaleur équivalente à hlvdxdt; il suit de là que cette partie infiniment petite du solide conserve en effet une quantité de chaleur représentée par

KSÇ£ dxdt— hlvdxdt

et qui fait varier sa température. Il faut examiner quelle est la quantité de ce changement.

io5.

Le coefficient G exprime ce qu'il faut de chaleur pour élever l'unité de poids de la substance dont il s'agit depuis la température o jusqu'à la température i ; par conséquent , en multipliant le volume sdx de la tranche infiniment petite par la densité D, pour connaître son poids, et par la capacité spécifique de chaleur C, on aura CD sdx, pour la quantité de chaleur qui élèverait le volume de la tranche depuis la température o jusqu'à la température i. Donc l'accroissement de la température qui résulte de l'addition d'une

quantité de chaleur égale à K S dxdt — hlvdxdt

se trouvera en divisant cette dernière quantité par CDS^x.

Donc en désignant selon l'usage par dt l'accroissement

de température qui a lieu pendant l'instant dt, on aura

Nous expliquerons par la suite l'usage que l'on doit faire de cette équation pour en déduire une solution complette , et c'est en cela que consiste la difficulté de la question ; nous