CHAPITRE II. io

passe ainsi de la partie du solide qui est plus voisine du centre dans la couche sphérique, est égale au produit de quatre facteurs qui sont la conducibilité K, la durée de,

1 étendue 4 * de la surface, et le rapport ~, pris avec un

signe contraire ; elle est exprimée par — 4 K. * x* ^ d t.

Pour connaître la quantité de chaleur qui s'écoule pendant le même instant par la seconde surface de la même couche , et passe de cette couche dans la partie du solide qui l'enveloppe, il faut changer, dans l'expression précédente, x en

x f- dx; c'est-à-dire, ajouter au terme — 4 K. * x* ^ d t, la

différentielle de ce terme prise par rapport à x. On trouve

ainsi — 4 K ir x1^ dt — ^KizdÇx1 ^Ç\dt pour l'expression

de la quantité de chaleur qui sort de la couche sphérique, en traversant sa seconde surface; et si l'on retranche cette quantité de celle qui entre par la première surface, on aura

4 K x d (x1 ^ ^ dt. Cette différence est évidemment la quantité de chaleur qui s'accumule dans la couche intermédiaire et dont l'effet est de faire varier sa température.

Le coëfficient C désigne ce qu'il faut de chaleur pour élever de la température o à la température i , un poids déterminé qui sert d'unité; D est le poids de l'unité de volume; (\nx*dx est le volume de la couche intermédiaire , ou n'en diffère que d'une quantité* qui doit être omise : donc 4 w C D x* dx est la quantité de chaleur nécessaire pour porter la tranche intermédiaire de la température o à la température i. Il faudra

io8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

par conséquent diviser la quantité de chaleur qui s'accumule dans cette couche par ^tCDx' dxt et l'on trouvera l'accroissement de sa température v pendant l'instant d t. On

obtiendra aussi l'équation dv = ^^dt.d(^x\ ou

x% dx

dv K f d* v i dv \ , ,

Tt — C^Vd^ + x'dx' )'

L'équation précédente représente la loi du mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide, mais les températures des points de la surface sont encore assujéties à une condition particulière qu'il est nécessaire d'exprimer.

Cette condition relative à l'état de la surface peut varier selon la nature des questions que l'on traite ; on pourrait supposer , par exemple , qu'après avoir échauffé la sphère , et élevé toutes ses molécules à la température de l'eau bouillante, on opère le refroidissement en donnant à tous les points de la surface la température o , et les retenant à cette température par une cause extérieure quelconque. Dans ce cas on pourrait concevoir que la sphère dont on veut déterminer l'état variable est couverte d'une enveloppe extrêmement peu épaisse, sur laquelle la cause du refroidissement exerce son action. On supposerait, i° que cette enveloppe infiniment mince est adhérente au solide, quelle est de la même substance que lui, et qu'elle en fait partie, comme les autres portions de la masse; a° que toutes les molécules de l'enveloppe sont assujéties à la température o par une cause toujours agissante qui empêche que cette température puisse être jamais audessus ou au-dessous de zéro. Pour exprimer .cette même condition dans le calcul , on doit assujétir la fonction v, qui